O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

Xususiy hosilali differensial tenglama. Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlar to’plami ya’ni umumiy yechim ixtiyoriy o’zgarmaslarga bog’liq emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bog’liq bo’ladi. Umuman bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng. Ularning erkli o’zgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim o’zgaruvchilari sonidan bitta kam bo’ladi. Bir noma’lumli 1- tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori bo’lgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida koshi masalasi bilan bir qatorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.
Differensial tenglamaning yechimi. Umumiy ko’rinishga ega bo’lgan
(1.1)
differensial tenglamani qaraylik.
Faraz qilaylik, funksiya biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib,
shu oraliqda , hosilalarga ega bo’lsin. Agar (1.1)
tenglamadagi y ning o’rniga , ning o’rniga , ning o’rniga va
h.k. ning o’rniga qo’yilganda (1) tenglama ayniyatga aylansa:

(x) funksiya (1.1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi.
Masalan, funksiya ushbu
(1.2)
birinchi tartibli differensial tenglamaning yechimi bo’ladi. Haqiqatdan ham,
larni (2) tenglamadagi va lar o’rniga qo’ysak, u holda
,
bo’ladi. Ayni paytda
( ) (1.3)
funksiya ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Chunki, , larda (2) tenglama ayniyatga aylanadi:

Differensial tenglamaning (1.3) ko’rinishdagi yechim umumiy yechim deyiladi. Bu umumiy yechimda ixtiyoriy o’zgarmas C ning biror tayin C₀ qiymatidagi C₀x² yechim (1.2) tenglamaning xususiy yechimi deyiladi. Demak, differensial tenglamaning umumiy yechimdagi ixtiyoriy o’zgarmas C ning turli qiymatlarida differensial tenglamaning xususiy yechimlari ( ular cheksiz ko’p bo’ladi) hosil bo’lib, umumiy yechim bu xususiy yechimlarning barchasini o’zida mujassamlashtiradi. Boshqacha qilib aytganda umumiy yechimdan (ixtiyoriy o’zgarmas C ning hech bir qiymatidan) kelib chiqmaydi. Masalan,
(1.4)
differensial tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi. Chunki, lar berilgan tenglamani ayniyatga aylantiradi:

Ayni paytda funksiya (1.4) differensial tenglamaning yechimi bo’lib ( bu ravshan), u umumiy yechimdan (C ning hech bir qiymatida) bu yechim kelib chiqmaydi. Odatda bunday yechim qaralayotgan differensial tenglamaning maxsus yechimi deyiladi. Differensial tenglamaning umumiy yechimidan xususiy yechim argumenti x biror qiymatni qabul qilganda y(x) funksiya berilgan qiymatni qabul qilsin degan shart asosida hosil qilinadi. Bunda boshlang’ich qiymatlar deyiladi, keltirilgan shart boshlang’ich shart deyilib,
, bo’lganda yoki

kabi yoziladi.
Umumiy yechimdagi C o’zgarmas shu shart asosida topiladi. Masalan, yuqorida keltirilgan,

differensial tenglamaning umumiy yechimi,

ga ko’ra ushbu
y(2)= 8
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi quyidagicha topiladi:
x = 2, y = 8 larni umumiy yechimdagi x va y larning o’rniga qo’yib, 8 = C 4
bo’lishni, undan esa C = 2 ekanini aniqlaymiz. C ning bu qiymatini umumiy yechimdagi C ning o’rniga qo’yib, izlanayotgan xususiy yechim

bo’lishini topamiz.
Differensial tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish differensial tenglamalar nazariyasining muhim masalalaridan biri hisoblanadi. Odatda bu masala Koshi masalasi deyiladi.