n
n
n
D
D
i
D
D
i
shu bilan birga
,
k
D
va
,
j
i
lar
va
larga nisbatan bir jinsli
ko`phadlardir. Invaryant ko`phadlarni
K
maydonda keltirilmaydigan bir
64
jinsli ko`phadlarga yoyib,
B
A
dastani
K
maydondagi
,
.
.
.
2
,
1
,
l
elementar bo`luvchilarini hosil qilamiz.
,
l
da
1
deb olib,
B
A
dastani
l
elementar bo`luvchisiga
kelamiz. Aksincha ,
B
A
dastaning har bir
q
darajali
l
elementar
bo`luvchisidan
l
l
q
,
formula yordamida
,
l
elementar bo`luvchini hosil qilamiz .Shunday
qilib,
B
A
dastaning
q
ko`rinishdagidan boshqa barcha elementar
bo`luvchilarini hosil qilishimiz mumkin.
q
korinishdagi elementar bo`luvchilar faqat va faqat
0
B
dagina
mavjud bo`lib , ular
B
A
dasta uchun “cheksiz” elementar bo`luvchilar
degan nom bilan ataladi.
B
A
va
1
1
B
A
dastalarning qat’iy ekvivalentligidan
B
A
va
1
1
B
A
dastalarning ham qa`tiy ekvivalentligi kelib chiqadi, shuning
uchun
B
A
va
1
1
B
A
qa`tiy ekvivalent dastalarda nafaqat “chekli” , balki
“cheksiz” elementar bo`luvchilar ham ustma-ust tushadi.
Endi bizga barcha elementar bo`luvchilari ustma-ust tushgan
B
A
va
1
1
B
A
regulyar dastalar berilgan bo`lsin. Bir jinsli parametrlarni
kiritib,
B
A
va
1
1
B
A
larni xosil qilamiz. Bu parametrlarni
quyidagicha almashtiramiz:
~
~
~
~
2
1
2
1
0
1
2
2
1
Yangi parametirlarda dastalar
1
1
~
~
~
~
,
~
~
~
~
B
A
B
A
ko`rinishda yozib, bu yerda
.
~
,
~
1
1
1
1
1
1
1
B
A
B
B
A
B
B
A
va
1
1
B
A
dastalarining reguiyarligidan kelib chiqadiki,
1
va
1
larni
0
~
,
0
~
1
B
B
shatlarni qanoatlantiradigan qilib tanlash
mumkin. Shuning uchun teorema 3.1 ga asosan
B
A
~
~
~
~
va
1
1
~
~
~
~
B
A
dastalar, demak
B
A
va
1
1
B
A
yoki
B
A
va
1
1
B
A
dastalar ham
65
qa`tiy ekvivalentdir. Shunday qilib, biz teorema 3.1 ning quyidagi
ummumlashganiga keldik.
Teorema 3.2.
B
A
va
1
1
B
A
dastalar qa`tiy ekvivalent bo`lishi
uchun bir xil va faqat bir xil (“chekli” va “cheksiz”) elementar
bo`luvchilarga ega bo`lishi zarur va yetarlidir.
Yuqorida ko`rilgan misolda (3.3) dastalar bir xil “chekli” elementar
bo`luvchilarga ega ammo “cheksiz” elementar bo`luvchilari xar-xil, ya`ni
birinchi dasta bitta
2
elementar bo`luvchiga, ikkinchisi esa ikkta
,
elementar bo`luvchilarga ega. Shuning uchun bu dastalar qa`tiy ekvivalent
emas.
Endi
B
A
ixtiyoriy regulyar dasta bo`lsin. U holda shunday c soni
mavjudki, unda
0
сB
A
bo`ladi. Berilgan dastani
,
1
B
с
A
bu yerda
,
0
,
1
1
A
сB
A
A
ko`rinishda tasvirlaymiz. Bu dastani chapdan
1
1
A
ga
ko`paytirib quyidagi ko`rinishdagi dastalarni xosil qilamiz.
1
1
0
0
1
0
1
1
,
,
J
сJ
E
J
сJ
E
J
J
с
E
B
A
с
E
(3.4)
bu yerda
B
A
J
J
1
1
1
0
,
matritsaning kvazidiogonal normal formasi,
0
J
Jordon
nil`potent matritsasi va
.
0
1
J
(3.4) ning o`ng tomonidagi birinchi dioganal biokni
1
0
)
(
J
c
E
ga
ko’paytiramiz. Bu yerda
𝜆
oldidagi koeffisiyent nil`potent (qandaydir darajasi
nolga teng) matritsa. Shuning uchun o`xshash almashtirish bilan bu dastani
quyidagi ko`rinishga keltirish mumkin.
i
i
i
s
i
i
i
H
E
N
N
N
N
J
E
,
,
.
.
.
,
,
ˆ
ˆ
2
1
0
(3.5)
Teorema3.3.
Ixtiyiriy
B
A
dasta quyidagicha kvazidiogonal kanonik
ko`rinishga keltirilishi mumkin.
i
i
i
s
i
i
i
H
E
N
E
J
N
N
N
,
,
,
.
.
.
,
,
2
1
(3.6)
bu yerda birinchi s ta dioganal blok
B
A
dastaning
s
i
i
i
,
.
.
.
,
,
2
1
cheksiz
elementar bo`luvchilarga mos kelib, oxirgi
E
J
dioganal blok berilgan
dastaning chekli elementar bo`luvchilari bilan bir qiymatli aniqlanadi.
66
§3. Singulyar dastalar. Keltirish xaqida teorema.
n
m
o`lchovli
B
A
matritsalarning singulyar dastasini qaraylik.
r
bilan dastaning rangini, ya`ni aynan nolga teng bo`lmagan minorlarning eng
yuqori tartibini belgilaymiz. Dastaning singulyarligidan kelib chiqadiki, xar
doim
n
r
yoki
m
r
bo`ladi.
n
r
bo`lsin, u holda
B
A
matritsaning
ustunlari chiziqli bog`langan bo`ladi,
ya`ni
,
0
X
B
A
(3.7)
bu yerda
x
izlanayotgan ustun, tenglama nolmas yechimga ega. Bu
tenglamaning xar bir nolmas yechimi
B
A
matritsaning ustunlari
orasidagi qandaydir chiziqli bog`lanishni ifodalaydi. Biz (3.7) tenglamani
faqat
ning ko`pxadlari bo`ladigan.
x
yechimlarni qarash bilan
chegaralanamiz. Bunday yechimlar ichidan eng kichik
darajalisini
olamiz.
0
1
.
.
.
2
2
1
0
x
x
x
x
x
x
(3.8)
Bu yechimni (3.7) tenglamaga qo`yib,
darajaning oldidagi
koeffitsentlarni nolga tenglab, quydagilarni xosil qilamiz:
,
0
,
0
,
.
.
.
,
0
,
0
,
1
2
1
1
0
0
Bx
Ax
Bx
Ax
Bx
Ax
Bx
Ax
(3.9)
Bu tengliklar sistemasini
x
x
x
x
1
,
.
.
.
,
,
,
2
1
0
ustun elementlariga nisbatan
chiziqli birjinsli tenglamalar sistemasi sifatida qarab, shunday xulosaga
kelamizki, bu sistema koyffitsiyentlaridan tuzilgan quyidagi matritsa.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
B
O
O
A
O
O
O
B
O
O
A
B
O
O
A
B
A
M
M
(3.10)
n
1
rangga ega. Shu bilan birga
sonining minimallik xossasiga
ko`ra quyidagi matritsalarning
67
B
O
O
A
O
O
O
A
B
O
O
A
M
B
O
A
B
O
A
M
B
A
M
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
,
1
1
0
(3.10`)
1
1
,
.
.
.
,
ranglar uchun quyidagi tengliklar o`rinli.
.
,
.
.
.
,
2
,
1
1
0
n
n
n
Shunday qilib,
son
n
k
k
1
munosabatni qanoatlantiruvchi
K
indeksning eng kichik qiymati.
Teorema 3.4.
Agar (3.7) tenglama
0
minimal darajali yechimga
ega bo`lsa, u holda berilgan
B
A
dasta quyidagi dastaga qa`tiy
ekvivalent boladi.
B
A
L
ˆ
ˆ
0
0
(3.11)
bu yerda
1
1
.
.
.
0
0
0
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
1
0
0
0
.
.
.
0
1
L
(3.12)
B
A
matritsalarning shunday dastasiki, unga mos (3.7)ga o`hshash
tenglama
dan kichik darajali yechimga ega emas.
Isboti.
Teoremaning isbotini quyidagi uch bosqichda amalga
oshiramiz.
1. Berilgan
B
A
dastani quyidagi
B
A
F
D
L
0
(3.13)
dastaga qa`tiy ekvivalentligini ko`rsatamiz bu yerda
,
ˆ
,
ˆ
,
,
B
A
F
D
mos
o`lchovli to`g`ri to`rtburchakli o`zgarmas matritsalar.
2.
0
ˆ
ˆ
x
B
A
tenglama
dan kichik darajali yechimga ega emasligini
ko`rsatamiz.
68
3. (3.13) dastani (3.11) kvazidiogonal ko`rinishga keltirish mumkin
ekanligini ko`rsatamiz.
1. Isbotning birinchi qismini geometrik shakilda amalga oshiramiz.
Buning uchun
B
A
-matritsalar dastasi o`rniga
n
R
fazoni
m
R
fazoga
akslantiruvchi
B
A
operatorlar dastasini qaraymiz va bu fazolarning
tanlangan bazislarida
B
A
operator (3.13) formaga egaligini ko`rsatamiz.
(3.7) tenglama o`rniga quyidagi vektor tenglamani
0
x
B
A
(3.14)
va vektor yechimni
x
x
x
x
x
1
.
.
.
2
2
1
1
0
(3.15)
olamiz. Bu holda (3.9) tengliklar quyidagi vektor tengliklar bilan
almashadi.
0
,
,
.
.
.
,
,
,
0
1
1
2
0
1
0
x
B
x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x
A
(3.16)
Quyidagi vektorlarni chiziqli bog`liqmasligini isbotlaymiz:
x
A
x
A
x
A
,
.
.
.
,
,
2
1
(3.17)
Bundan,
x
x
x
,
.
.
.
,
,
1
0
(3.18)
vektorlarni chiziqli bog`liqmasligi kelib chiqadi.
Xaqiqatan,
0
0
x
A
0
.
.
.
1
1
0
0
x
a
x
a
x
a
tenglikdan
0
.
.
.
1
1
0
0
x
A
a
x
A
a
x
A
a
tenglikni
xosil qilamiz. (3.17) vektorlarni chiziqlik bog`liq emasligidan
0
.
.
.
1
1
a
a
a
kelib chiqadi. Ammo
,
0
0
x
chunki, aks xolda
x
1
(3.14) tenglamani
1
darajali yechimi bo`lib qoladi, bu bo`lishi mumkin
emas(
ni minimal darajali ekanligiga zid). Shuning uchun
.
0
0
a
Agar mos ravishda
𝑅
𝑚
va
𝑅
𝑛
da yangi bazislar uchun, (13.17) va
(3.18) vektorlarni birinchi bazis vektorlar deb qabul qilsak, u holda
69
(3.16) ga ko`ra yangi bazisda
A
va
B
operatorlarga quyidagi matritsalar
mos keladi.
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
0
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
1
0
0
0
...
0
1
0
~
1
A
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
0
0
...
0
0
...
...
...
...
...
1
0
...
0
0
0
1
...
0
0
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
0
...
0
1
~
1
B
u holda
B
A
~
~
matritsa (3.13) ko`rinishga ega bo`ladi.
Barcha avvalgi muxokamalar asoslangan bo`ladi, agarda biz (3.17)
vektorlarni chiziqli bog’liq emasligini ko’rsata olsak. Teskarisini faraz
qilamiz, ya’ni
1
h
x
A
h
(3.17) qatordagi ozidan avvalgi vektorlar orqali
chiziqli ifodalangan birinchi vektor bo’lsin,
1
2
1
1
2
1
.
.
.
x
A
x
A
x
A
x
A
h
h
h
h
(3.16) ga ko’ra bu tenglikni quyidagicha yozishimiz mumkin:
,
.
.
.
0
3
2
2
1
1
1
x
B
x
B
x
B
x
B
h
h
h
h
ya’ni
0
*
1
h
x
B
bu yerda
,
.
.
.
0
1
3
2
2
1
1
1
*
x
x
x
x
x
h
h
h
h
h
yana (3.16) ga ko’ra
,
.
.
.
*
*
2
0
2
2
1
2
1
h
h
h
h
h
x
B
x
x
x
B
x
A
bu yerda
,
.
.
.
0
2
2
1
2
2
*
x
x
x
x
h
h
h
h
Bu jarayonni davom ettirib, quydagi vektorlarni xosil qilamiz:
0
0
0
1
1
1
0
3
3
1
3
3
*
*
*
,
,
.
.
.
,
.
.
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
h
h
h
h
Natijada quydagi tengliklar hosil bo`ladi:
70
0
,
,
,
.
.
.
,
,
0
*
*
*
*
*
*
0
1
1
2
1
1
x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
h
h
h
(3.19)
(3.19) dan kelib chiqadiki,
0
1
.
.
0
0
1
1
1
0
*
*
*
*
*
x
x
x
x
x
x
h
h
(3.14) tenglamani
1
h
darajadan ortmaydigan nolmas yechimi bo`lib,
qarama-qarshilikka kelamiz.
Shunday qilib (3.17) vektorlar chiziqli bo`liq emas.
2. Endi
0
ˆ
ˆ
ˆ
x
B
A
tenglamani
dan kichik darajali yechimga ega
emasligini isbotlaymiz. Avval etiborimizni
0
y
L
tenglama (3.7) tenglama
kabi eng kichik darajali nolmas yechimga ega ekanligiga qaratamiz.
Bunga
0
y
L
tenglamani
,
0
,
.
.
.
,
0
,
0
1
3
2
2
1
y
y
y
y
y
y
1
,
.
.
.
,
2
,
1
,
1
,
,
.
.
.
,
,
1
1
1
1
2
1
k
y
y
y
y
y
y
k
k
k
T
oddiy tenglamalar sistemasi bilan almashtirib ishonch xosil qilishimiz
mumkin.
Ikkinchi tomondan, agar dasta (3.13) ,,uchburchak’’ ko`rinishga ega
bo`lsa, u holda bu dastaga mos keluvchi
.
.
.
,
2
,
1
k
M
k
matritsalar ham
satr va ustunlarini kerakli almashtirishlardan so`ng quydagi uchburchak
ko`rinishga keltirilishi mumkin:
B
A
M
O
F
D
M
L
M
k
k
k
ˆ
ˆ
(3.20)
1
k
da bu matritsaning barcha ustunlari, jumladan
L
M
1
matritsaning
ustunlari chiziqli bog`liq emas. Ammo
1
1
L
M
tartibli kvadrat
matritsa. Shuning uchun
B
A
M
ˆ
ˆ
1
matritsaning ham barcha ustunlari
chiziq`li bog`liq emas bo`lib,
0
ˆ
ˆ
ˆ
x
B
A
tenglama
dan kichik darajali
yechimga ega bo`lmaydi.
3. (3.13) dastani unga qat’iy ekvivalent bo’lgan quyidagi dasta bilan
almashtiramiz:
71
B
A
O
X
L
B
A
Y
F
D
L
E
O
X
E
B
A
O
F
D
L
E
O
Y
E
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
4
3
2
1
(3.21)
bu yerda
4
3
2
1
,
,
,
E
E
E
E
mos ravishda
1
,
1
,
,
n
m
tartibli birlik
kvadrat matritsalar,
Y
X
,
mos o`lchovli, ixtiyori to`g`ri to`rtburchakli
matritsalar. Teorema to`la isbotlangan bo`ladi, agarda
X
va
Y
matritsalarni
B
A
Y
F
D
X
L
ˆ
ˆ
(3.22)
matritsali tenglikni qanoatlantiradigan qilib tanlash mumkin ekanligini
ko`rsata olsak.
X
F
D
,
,
matritsalar elementlari uchun, shundek
Y
matritsa satirlar va
B
A
ˆ
,
ˆ
matritsalar ustunlari uchun quyidagicha belgilashlar kiritamiz:
,
1
,
1
,
1
,
1
,
,
1
,
,
,
j
n
k
i
x
X
f
F
d
D
jk
ik
ik
1
2
1
1
2
1
2
1
,
.
.
.
,
,
ˆ
,
,
.
.
.
,
,
ˆ
,
,
.
.
.
,
,
n
n
T
b
b
b
B
a
a
a
A
y
y
y
Y
U holda (3.22) matritsali tenglamani quyidagi skalyar tenglamalar
sistemasi bilan almashtirish mumkin:
1
.
.
.
,
2
,
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
1
3
3
3
3
3
4
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
1
2
n
k
v
y
a
y
f
d
x
x
v
y
a
y
f
d
x
x
v
y
a
y
f
d
x
x
v
y
a
y
f
d
x
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
(3.23)
Bu tengliklarning chap tomonida
ga nisbatan chiziqli ikkixadlar turibdi.
Bu birinchi
1
ta ikkixadning ozod xadi keyingi ikkixaddagi
oldidagi
koyfitsientga teng. U holda tengliklarning o`ng tomoni ham shu shartni
qanoatlantirishi kerak. Shuning uchun quyidagi tengliklar o’rinli bo’lishi
kerak:
1
,
.
.
.
,
2
,
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
,
1
1
2
3
3
2
1
2
2
1
n
k
d
f
v
y
a
y
d
f
v
y
a
y
d
f
v
y
a
y
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
(3.24)
72
Agar (3.24) tengliklar o’rinli bo’lsa , u holda (3.23) dan
X
matritsaning elementlarini aniqlash mumkin bo`ladi.
Endi (3.24)
Y
matritsaning elementlariga nisbatan tenglamalar
sistemasi, ixtiyoriy
ik
d
va
ik
f
1
,
.
.
.
,
2
,
1
,
.
.
.
,
2
,
1
n
k
i
da har doim
yechimga ega ekanligini ko`rsatish qoldi. Xaqiqatan,
.
.
.
,
,
,
4
3
2
1
y
y
y
y
noma’lum elementlar oldidagi koeffitsentlardan tuzilgan matritsa
transponirlangandan so’ng , quyidagi korinishda yozilishi mumkin.
1
ˆ
.
.
.
ˆ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ˆ
.
.
.
ˆ
ˆ
.
.
.
ˆ
B
O
O
A
O
O
O
B
O
O
A
B
O
O
A
Ammo bu matritsa
B
A
ˆ
ˆ
to`gri to`rtburchak matritsalar dastasi
uchun
2
M
matritsadan iborat bo`lib, uning rangi
1
1
n
ga teng,
chunki isbotlanganiga ko`ra
0
ˆ
ˆ
x
B
A
tenglama
dan kichik darajali
yechimga ega emas. Shunday qilib, (3.24) tenglamalar sistemasining rangi
tenglamalar soniga teng, bunday sistema ixtiyoriy ozod xadlarda
birgalashgan bo`ladi.
Teorema to`la isbotlandi.
Dostları ilə paylaş: |