§1.1. Kvadratik formalarda o’zgaruvchilarni almashtirish.
Ta’rif 7.1.
Kvadratik forma deb, n ta
n
x
x
x
,...,
,
2
1
o’zgaruvchilarga
nisbatan ikkinchi darajali bir jinsli ko’pxadga aytiladi.
Kvadratik formalarni xar doim
k
i
ik
n
k
i
x
x
a
,
)
....,
2
.
1
,
;
(
n
k
i
a
a
ik
ik
ko’rinishida tasvirlash mumkin, bu yerda
n
k
i
ik
a
A
1
,
)
(
simmetrik matritsa.
T
n
x
x
x
х
)
,...,
,
(
2
1
deb belgilasak, kvadratik formani quyidagicha yozishimiz mumkin bo’ladi:
k
i
n
k
i
k
i
T
x
x
a
Ax
x
1
,
,
. (7.1)
Agar A xaqiqiy simmetrik matritsa bo’lsa, u holda (7.1) forma xaqiqiy
deyiladi.
A
matritsaning aniqlovchisi
n
k
i
ik
a
A
1
,
(7.1) kvadratik formaning determinanti deyiladi. Agar
0
A
bo’lsa, (7.1)
forma singulyar deyiladi.
Har bir kvadratik formaga quyidagicha bichiziqli forma mos keladi:
k
i
n
k
i
k
i
T
y
x
a
Ay
x
1
,
,
, (7.2)
bu yerda
n
k
i
ik
a
A
1
,
)
(
,
)
,...,
,
(
2
1
n
T
x
x
x
x
,
T
n
y
y
y
y
)
,...,
,
(
2
1
.
163
Agar
m
e
y
y
y
x
x
x
,...,
,
,
,...,
,
2
1
2
1
lar ustun matritsalar bo’lib,
m
e
d
d
d
c
c
c
...,
,
,
,...,
,
2
1
2
1
lar skalyar sonlar bo’lsa, quyidagi tenglik o’rinli
bo’ladi:
j
T
i
j
i
m
j
e
i
j
j
m
j
T
i
i
e
i
Ay
x
d
c
y
d
A
x
c
1
1
1
1
(7.3)
Agar n o’lchovli evklid fazosida
A
operator berilgan bo’lib, bu
operatorga qandaydir
n
e
e
e
,...,
,
2
1
ortonormallashgan bazisda
A=
1
,
,
k
i
n
k
i
a
matritsa mos kelsa, u holda ixtiyoriy
i
i
n
i
e
x
x
1
i
i
n
i
e
y
y
1
vektorlar uchun quyidagi ayniyat o’rinli bo’ladi
y
A
x
y
x
A
y
A
x
T
,
,
Xususiy holda
x
A
x
x
x
A
x
A
x
T
,
,
,
bu yerda
k
k
i
e
e
A
a
k
i
k
i
,...,
2
,
1
,
,
,
,
.
Endi o’zgaruvchilarni
n
i
t
x
k
ik
n
k
i
,...,
2
,
1
,
1
(7.4)
yoki
Т
n
Т
n
k
i
n
ik
x
x
x
x
t
T
T
x
...,
,
,
,...,
,
,
,
2
1
2
,
1
1
,
(7.4
1
)
ko’rinishda almashtirganimizda (7.1) kvadratik forma koeffitsenlaridan
tuzigan matritsa qanday o’zgarishini qarab chiqamiz.
Buning uchun (7.4 ) ni (7.1) ga qo’yib, quyidagicha hosil qilamiz:
,
~
A
AT
T
AT
T
Ax
x
Т
Т
Т
Т
Т
bu yerda
1
164
𝐴̃ = 𝑇
𝑇
𝐴𝑇
(7.5)
(7.5) formula
n
k
i
k
i
k
i
Т
a
A
1
,
,
~
almashgan kvadratik formaning
1
,
,
~
~
k
i
n
k
i
a
A
matritsasini ifodalaydi. (7.5) dan
2
~
T
A
A
(7.6)
kelib chiqadi.
Ta’rif 7.2.
(7.5) tenglik bilan bog’langan
0
T
ikkita A va
A
~
matritsalar kongruent deyiladi.
Shunday qilib, har bir kvadratik forma bilan, juft-jufti bilan kongruent
bo’lgan matritsalar sinfi bog’langan. Bu matritsalar bir hil rangga ega bo’lib,
bu rang qaralayotgan kvadratik formaning rangi bo’ladi. Bu matritsalar sinifi
uchun rang invariant bo’ladi.
§2. Inertsiya qonuni
Har bir
Ax
x
Т
kvadratik formani cheksiz ko’p usul bilan quyidagi
ko’rinishga keltirish mumkin:
,
1
2
r
i
i
i
Т
X
a
Ax
x
(7.7)
bu yerda
𝑎
𝑖
≠ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑟
va
r
i
x
a
X
k
ik
n
k
i
,...,
2
,
1
,
1
n
x
x
x
,...,
,
2
1
o’zgaruvchilarning o’zaro chiziqli bog’liq bo’lmagan haqiqiy
chiziqli formalari
)
(
n
r
.
n
,
...
,
,
2
1
- yangi o’zgaruvchilarning birinchi r tasi
n
x
x
x
,...,
,
2
1
o’zgaruvchilar bilan
r
i
X
i
i
,...,
2
,
1
,
165
formulalar bilan bog’langan xosmas almashtirishni qaraymiz. U holda yangi
o’zgaruvchilarda
r
i
i
i
Т
Т
a
A
Ax
x
1
2
~
bo’lib,
0
,...,
0
,
...,
~
,
2
,
1
r
a
a
a
diag
A
bo’ladi.
Ammo
A
~
matritsaning rangi r ga teng. Demak, (7.7) ko’rinishdagi
kvadratlar soni har doim formaning rangiga teng bo’ladi.
Quyidagi teorema (7.1) kvadratik formani har xil usullar bilan (7.7)
ko’rinishga keltirganimizda, nafaqat kvadratlar soni, balki musbat va manfiy
kvadratlar soni ham o’zgarmasligini ko’rsatadi.
Teorema 7.1.
(Kvadratik formalarning inertsiya qonuni).
(7.1) haqiqiy
kvadratik formani (7.7) – o’zaro bog’liq bo’lmagan kvadratlar yig’indisi
ko’rinishida ifodalashda musbat kvadratlar soni va manfiy kvadratlar soni
ko’rsatilgan ko’rinishga keltirish usuliga bog’liq emas.
Isboti.
(7.1) kvadratik forma (7.7) korinish bilan birga yana quyidagicha
o’zaro bog’liq bo’lmagan kvadratlar yig’indisi ko’rinishiga keltirilgan
bo’lib,
,
1
2
r
i
i
i
Т
Y
b
Ax
x
,
0
,...,
0
,
0
,...,
0
,
0
1
2
1
r
h
h
a
a
a
a
a
0
,...,
0
,
0
,...,
0
,
0
1
2
1
r
g
g
b
b
b
b
b
bo’sin. Faraz qilaylik, h≠g, masalan h
2
1
2
1
i
i
r
i
i
i
r
i
Y
b
X
a
(7.8)
ayniyatda
n
x
x
x
,...,
,
2
1
o’zgaruvchinlarga
r
h
X
X
,...,
1
formalarning xech
bo’lmaganda bittasi nolga aylanmaydigan va quyidagi r-(g-h) ta tenglamalar
sistemasini qanoatlantiruvchi qiymatlar beramiz:
166
0
,...,
0
,
0
,...,
0
,
0
2
1
2
1
Y
Y
X
X
X
g
n
(7.9)
O’zgaruvchilarning bunday qiymatlarida (7.8) ayniyatning chap tomoni
0
2
1
j
j
r
n
j
x
a
ga, o’ng tomoni esa
0
2
1
k
k
g
k
y
b
ga teng bo’ladi.
Shunday qilib, h≠g degan farazimiz bizni qarama-qarshilikka olib keladi.
Ta’rif 7.3.
(7.1) kvadratik formani o’zaro bog’liq bo’lmagan kvadratlar
yig’indisi ko’rinishida ifodalaganimizdagi musbat kvadratlar soni
𝜋
bilan
manfiy kvadratilar soni
𝛾
ning ayirmasi
shu kvadratik formaning signaturasi
deyiladi.
Demak,
r
,
(7.7) dagi koeffitsentlarni
i
a
ko’rinishda olib,
i
X
larning tarkibiga
kiritish mumkin bo’lgani uchun quyidagi tenglikni yozishimiz mumkin:
2
2
1
2
2
2
2
1
...
...
r
Т
X
X
X
X
X
Ax
x
(7.10)
(7.10) ifodada
r
i
X
i
i
,...,
2
,
1
,
deb olib (7.1) formani quyidagicha
kanonik ko’rinishga keltiramiz:
2
2
1
2
2
2
2
1
...
...
~
r
Т
A
(7.11)
Bundan teorema 7.1 ga asosan quyidagicha xulosa qilamiz: Ixtiyoriy A
haqiqiy simmetrik matritsa elementlari 1,-1 va 0 lardan iborat bo’lgan
diogonal matritsaga kongruentdir, ya’ni
,
1
,...
1
,
1
(
ta
Т
diog
T
A
T
Yta
)
0
,...
0
,
1
,...,
1
,
1
(7.12)
|