Vi bob matematik nazariyalar

6.8.1. Zidsizlik muammosi.
1- ta’rif. Agar nazariyada shunday mulohaza topilib, u o‘zining inkori bilan birga teorema bo‘lsa, u holda ziddiyatga ega bo‘lgan nazariya deb ataladi. Aks holda zidsiz nazariya deyiladi.
Agar nazariyada mulohaza topilib, u o‘zining inkori bilan birga teorema bo‘lmasa, shunda va faqat shundagina u zidsiz nazariya bo‘ladi.
nazariyada keltirib chiqarish qoidasining biri sifatida xulosa qoidasi mavjud bo‘lganidan, ziddiyatga ega bo‘lgan nazariyaning istalgan mulohazasi teorema bo‘ladi. Haqiqatan ham, nazariyaning istalgan mulohazasi uchun ifoda teorema bo‘ladi, chunki bu mulohaza tavtalogiyadir.
Bu yerda va larning teorema ekanligini hisobga olgan holda ikki marta xulosa qoidasidan foydalanib, teoremadir degan xulosaga kelamiz.
Aksiomatik nazariyalarda zidsizlik muammosini ko‘p hollarda model tushunchasi orqali yechish mumkin. Haqiqatan ham, agar nazariya ziddiyatga ega bo‘lsa, u holda uning modeli ham ziddiyatga ega bo‘ladi, chunki nazariyaning bir-biriga qarama-qarshi bo‘lgan juft teoremalari model holida bir-biriga qarama-qarshi bo‘lgan mulohazaga aylanadi. Demak, nazariya zidsiz bo‘lishi uchun uning ziddiyatdan holi bo‘lgan modeli mavjudligini ko‘rsatish kerak. Mulohazalar hisobining zidsizligini xuddi shu sxema orqali isbot qilgan edik.
Agar nazariya uchun shunday interpretasiyani topish mumkin bo‘lsaki, uning interpretasiyasi chekli to‘plamdan iborat bo‘lsa, u holda bu interpretasiyada ziddiyat mavjud emasligi masalasini yechish to‘g‘ridan-to‘g‘ri shu chekli to‘plamni ko‘rish bilan hal bo‘ladi.
Masalan, bir elementli to‘plam elementga ega bo‘lsin. Agar bu to‘plamda amali aniqlangan bo‘lsa, u holda u ziddiyatga ega bo‘lmagan guruh nazariyasining modeli bo‘ladi. Demak, guruh nazariyasi zidsizdir. Ammo, ko‘pincha modelning zidsizligini isbotlash ancha murakkab fikr yuritishni talab qiladi. Bu, ayniqsa, nazariya faqat cheksiz modellarga ega bo‘lgan hollarda ko‘proq yuz beradi.
Masalan, agar Evklid geometriyasining tushunchalari Lobachevskiy² geometriyasining interpretasiyasi sifatida foydalanilsa, u holda Lobachevskiy geometriyasining zidsizligi masalasini Evklid geometriyasining zidsizligi masalasiga keltirish mumkin.
Shuni ta’kidlash kerakki, Evklid geometriyasining zidsizligi va haqiqiy sonlar nazariyasining zidsizligi hozirgacha isbot qilingan emas.