Vi bob matematik nazariyalar

6.9. Natural sonlar nazariyasi. Gyodelning to‘liqsizlik haqidagi teoremasi Peano aksiomalar sistemasi. Natural sonlar nazariyasining maxsus aksiomalari. Aksiomalar sistemasidan kelib chiqadigan natijalar.
Gyodelning to‘liqsizlik haqidagi birinchi va ikkinchi teoremalari.


6.9.1. Natural sonlar nazariyasi. Natural sonlar nazariyasining aksiomatik xarakteristikasini (tavsifnomasini) 1888 yilda Dedekind³ tomonidan berilganiga qaramasdan, natural sonlar arifmetikasining aksiomatik tuzilishini ko‘pincha «Peano⁴ aksiomalar sistemasi» deb atashadi.
Aksiomatik natural sonlar nazariyasi tili alfavitining harfi quyidagi formal simvollardan iborat: 0 – konstanta, sonli o‘zgaruvchilar, – tenglik simvoli, , , (1 ni qo‘shish) funksional simvollar va , , , (yoki ), , – mantiqiy bog‘lovchilardan iborat.
1- ta’rif. Formal simvollarning chekli ketma-ketligi formal ifodalar deb ataladi.
Masalan, , va , ko‘rinishdagi ifodalar formal ifodalardir.
Formal ifodalar ikki sinfga bo‘linadi: termlar sinfi va formulalar sinfi.
Konstanta 0 va sonli o‘zgaruvchilardan funksional simvollar orqali termlar tuziladi.
2- ta’rif. 1) 0 – termdir; 2) sonli o‘zgaruvchilar termdir;. 3–5) agar va term bo‘lsa, u holda , va ham term bo‘ladi. 6) 1–5- bandlarda aniqlangan termlardan boshqa hech qanday term yo‘q.
Bu nazariyada elementar formulalar termlar va ularning tengliklaridan iborat bo‘ladi. Boshqa formulalar elementar formulalardan , , , , , mantiqiy bog‘lovchilar vositasida hosil qilinadi.
3- ta’rif. 1) Agar va termlar bo‘lsa, u holda formula bo‘ladi;. 2–5) agar va formulalar bo‘lsa, u holda , , , ham formulalar bo‘ladi; 6–7) agar formula va o‘zgaruvchi bo‘lsa, u holda va formulalar bo‘ladi; 8) 1–7- bandlarda aniqlangan formulalardan boshqa
hech qanday formula yo‘q.
Formulalar aksiomatik natural sonlar nazariyasida arifmetik formulalar deb ataladi.
1- izoh. 2- ta’rifdagi « » va « » formal simvollar emas. Ular metatilda foydalaniladigan matematik o‘zgaruvchilardir. Shuning uchun « » formal ifoda emas. Agar « » va « » o‘rniga termlar qo‘yilsa, u holda u formal ifoda bo‘ladi.
2- izoh. 3- ta’rifdagi « » va « » hamda « » matematik o‘zgaruvchilardir. Ularning o‘rniga mos ravishda ma’lum qiymatlari qo‘yilgandagina, ta’rifdagi ifodalar formulalarga aylanadi.