Геометрия

---

6 - Mavzu: Uchburchakdagi ajoyib
nuqtalar

---

1 - t e o r e m a 
Uchburchakning medianalari bitta nuqtada kesishadi va kesishish nuqtasida
uchdan hisoblaganda 2:1 kabi nisbatda bo`linadi.
I s b o t i
. M nuqta AC tomonning o`rtasi, N nuqta BC tomonning o`rtasi bo`lsin deb faraz qilamiz, ya‘ni MA =
MC, NB = NC (37-rasm). N nuqta B va C nuqtalar orasida yotganligidan, B va C nuqtalar AN to`g`ri chiziqdan
turli tomonlarda yotadi. AN va AC to`g`ri chiziqlar uchun A nuqta umumiy, demak, ularning boshqa umumiy
nuqtalari bo`lishi mumkin emas. Shuning uchun AC to`g`ri chiziqda yotuvchi M nuqta va B nuqta AN to`g`ri
chiziqdan turli tomonlarda yotadi. Natijada AN va BM medianalar biror O nuqtada kesishadi. Modomiki, M va
N, mos ravishda, AC va BC tomonlarning o`rtalaridan iborat ekan, MN kesma ∆ABC ning o`rta chizig`i bo`ladi
va MN AB. Ikkita o`zaro parallel AB va MN to`g`ri chiziqlar AN va BM to`g`ri chiziqlar bilan kesilgan. U
vaqtda hosil bo`lgan ichki almashinuvchi burchaklar o`zaro teng:
∠
BAN =
∠
ANM,
∠
ABM =
∠
BMN
Endi ∆ABO da ikkita burchak ∆MON ning mos burchaklariga tengligidan, ular o`xshash bo`ladi, ya‘ni
∆ABO ∆MON, ularning mos tomonlari proporsional:
Shunday qilib, AN va BM medianalar kesishish nuqtasi O da
nisbatda bo`linadi. BO va CO bissektrisalarni
qarab chiqib, ular ham О kesishish nuqtasida nisbatda bo`linishini olamiz.

---

1 - t e o r e m a 

---

2 - t e o r e m a 
Uchburchakning hamma balandliklari bitta nuqtada kesishadi.
I s b o t i . 
Berilgan uchburchakning A, B, C uchlaridan uning qarama-qarshi tomonlariga parallel 
A2C2 AC, A1B1 AB, B1C1 BC to`g`ri chiziqlarni o`tkazamiz. Bu to`g`ri chiziqlarning o`zaro
kesishishi natijasida A1B1C1 hosil bo`ladi (38-rasm). Yasashga ko`ra C1B AC, C1A BC, A1C AB, 
BA1 AC. Shunday qilib, AC1BC va ABA1C to`rtburchaklar parallelogramm va C1B = AC, BA1 = 
AC, BA1 AC. Bundan C1B = BA1 bo`lishini, ya‘ni B nuqta A1C1 kesmaning o`rtasi ekanligini
olamiz. Shunga o`xshash, A va C nuqtalar, mos ravishda,
B1C1 va A1B1 tomonlarning o`rtalari bo`lishini ko`rsatish mumkin. ABC uchburchakning B 
uchidan BN balandlik o`tkazamiz. Lekin A1B1C1 da BN balandlik uning A1C1 tomoniga
o`tkazilgan o`rta perpendikulardir. Shunga o`xshash, CK va MA balandliklar, mos ravishda, A1B1 
va B1C1 tomonlarga o`rta perpendikularlardan iborat. Har qanday uchburchakda o`rta
perpendikularlar bitta nuqtada kesishganligidan, MA, NB va KC balandliklarning bitta O nuqtada
kesishishi kelib chiqadi. 

---

2 - t e o r e m a 
1 - t a ` r i f . Uchburchak
balandliklarining kesishish nuqtasi
O uchburchakning ortomarkazi
deyiladi.

---

3 - t e o r e m a 
Uchburchakning uchta bissektrisasi bitta nuqtada kesishadi.
I s b o t i . 
∆ABC ichki burchaklarining AK, BM va CN bissektrisalarini
o`tkazamiz (39-rasm). Modomiki, K nuqta BC kesmaning ichki nuqtasi
bo`lib, M nuqta AC tomonda yotar ekan, B va M nuqtalar AK bissektrisadan
turli tomonlarda yotadi. Demak, AK va BM bissektrisalar bitta O nuqtada
kesishadi. Burchak bissektrisasining xossasiga ko`ra, O nuqta ichki A 
burchakning AC va AB tomonlaridan, shuningdek, B burchakning AB va BC 
tomonlaridan baravar uzoqlikda joylashgandir. Demak, O nuqta ichki C 
burchakning AC va BC tomonlaridan baravar uzoqlikda joylashgan, ya‘ni
O nuqta C burchakning CO bissektrisasida yotar ekan.

---

3 - t e o r e m a 
2 - t a ` r i f . Uchburchak burchaklari
bissektrisalarining kesishish nuqtasi
uchburchakning inmarkazi deyiladi.