Гиперболик типдаги тенгламалар

II. Asosiy qism.

1. 
   Giperbolik tipdagi tenglamalar.
   

Masalaning moxiyatiga karab, bu modellarni ifodalovchi matematik tenglamalar turli kurinishda, jumladan, murakkab jarayonlarning matematik modellari matematik-fizika tenglamalari orkali ifodalanadi.

Agar tebranuvchan xarakterdagi jarayonlar, anikrok kilib aytadigan bulsak, turli xil ingichka torlar, xar xil matreiallardan ishlangan tayoklar va boshka xildagi konstruksiyalarning kundalang va buylama tebranishlari jarayonlari urganilayotgan bulsa, bunday masalalarning matematik modellari giperbolik tipdagi tenglamalarga keltiriladi. Tebranishlar esa so’nib boruvchi yoki aksincha bo’lishi mumkin. Xususiy xolda giperbolik tipdagi tenglamalarni kuyidagicha yozish mumkin:
(2)
Bunda -izlanuvchi funksiya, -vakt, -chizikli koordinata, -uzgarmas koeffitsient. (2)-kurinishdagi tenglamalar uchun odatda ikkita boshlangich va ikkita chegaraviy shart beriladi. karalayotgan soxa kesmadan iborat bulsa, funksiya kuyidagi boshlangich shartlarni:

va kuyidagicha chegaraviy shartlarni:

kanoatlantirishi kerak.
Umuman barcha tip tenglamalar uchun chegaraviy shartlar kuyidagi kurinishlarda bulishi mumkin:

1) Dirixle masalasi:

2) Neyman masalasi:
3) Aralash masala:
Bu yerda -izlanayotgan funksiya;
-kiymatlari ma’lum funksiyalar;
-yechim kidirilayotgan soxa chegarasi;
-soxaga utkazilgan normal birlik vektor;
-chegaraviy shart belgilari.
(2) kurinishdagi xususiy xosilali differensial tenglamalarni yechish uchun sonli usullar ichida eng keng tarkalgan usul chekli ayirmalar usulidan foydalanamiz. Tenglamada katnashuvchi funksiya ikkita argumentga boglik bulgani uchun, uning aniklanish soxasi tekislikda buladi. Bu soxani -deb, uning chegarasini esa -deb belgilaylik. Chekli ayirmalar usulida dastlab -soxa chiziklar yordamida bulaklarga bulinadi. Bulinish nuktalari tugun, ulardan tashkil topgan tuplamga esa tor deb ataladi.


-soxaning ichida yotgan nuktalar tugun nuktalar, -chegarada yotgan nuktalarga chegaraviy nuktalar deymiz.
Tur soxani kuyidagicha tashkil etamiz: kesmani ( ) tugun nuktalar yordamida -buyicha esa oralikni bulaklarga bulamiz va tekis tur xosil kilamiz.
Bu yerda , ga teng. Demak, bu yerda va va buyicha kadamlardan iborat.
soxada yotgan tugun nuktalar uchun (2) tenglamani kuyidagi kurinishda yozib olamiz.
(2’)
Tur soxada tur funksiyasi deb ataluvchi funksiyalarni karaymiz. Ular soxada aniklangan funksiyalar urnida karaluvchi diskret funksiyalardan iborat buladi, ya’ni oddiy differensial tenglamalardagi kabi xususiy xosilali chekli ayirmalar bilan almashtiriladi. Xosilalarni almashtirishda chekli ayirmalardan ishlatiluvchi tugun nuktalar majmuasiga shablon deyiladi. Bir xil xosilalar uchun bir necha xil shablon asosida chekli ayirmalar tuzish mumkin. Shunday kilib, differensial tenglama berilgan boshlangich va chegaraviy shartlarda chekli ayirmali masalaga keltirladi.
Biz xosil kilgan tur soxadagi xar bir tugun nuktalarda yechimning kiymatlari dan iborat buladi. (2’) tenglamani approksimatsiya kilish uchun nuktalardan tashkil topgan shablonni ishlatamiz. Bu shablonda (2’) tenglamadagi xususiy xosilalarni kuyidagi sxemalar yordamida chekli ayirmalar bilan almashtiramiz.

1) 2)

1-sxemadan ko’rinib turibdiki, katlamdagi yechim katlamdagi yechimlar orkali anik, oshkor shaklda ifodalanadi. Shuning uchun bunday sxemalarga oshkor sxemalar deyiladi. Oshkor sxemalarda oldingi katlamdagi xatoliklar yigindisi keyingi katlamga utganligi uchun, bir necha katlamdan sung xatoliklar majmuasi xosil buladi va kutilgan natija chikmasligi mumkin. Shuning uchun amalda oshkor sxemalardan kamrok foydalangan ma’kul.

2-sxemada esa xar bir katlamning uchta nuktadagi noma’lum yechimlari, uzidan oldingi ya’ni xar bir keyingi katlamdagi yechimlarni oldingi katlamdagi 1 ta yechim orkali ifodalanadi, ya’ni xar bir keyingi katlamdagi yechimlarni odingi katlamdagi yechimlar orkali bevosita birdaniga oshkor xolda ifodalab bulmaydi. Bunday sxemalarga oshkormas sxemalar deyiladi. Oshkormas sxemada xar bir katlamdagi xisoblash xatoliklari boshka katlamga uzatilmaydi. Shuning uchun, bunday sxemalarda xosil bulgan xisoblash formulalari birmuncha murakkab bulsa xam, lekin xatolik kam buladi. Demak, amalda oshkormas sxemalardan foydalangan ma’kulrok. (2’) tenglamadagi ; ifodalar urniga (kuyidagi barcha almashtirishlardan kulaylik uchun kabi yozuvlar urnida yozuvlardan foydalanamiz)

va chekli ayirmali formulalarni kuyib, (2’) tenglamalarga mos kuyidagi chekli-ayirmali tenglamalarni xosil kilamiz.
(3)
(3) tenglamani ga nisbatan yechib,
(4)
ishchi formulani xosil kilamiz. Bu yerda , .
Xosil bulgan (4) formula oshkor sxema asosida xosil kilingan bulib, berilgan xususiy xosilali differensial tenglamaning takribiy yechimini xisoblaydi. Yukorida ta’kidlanganidek, oshkor sxemalarda xosil kilingan takribiy yechim muayyan xatoliklar majmuasini uzida saklaydi. Yul kuyilishi mumkin bulgan xatolikni birmuncha kamaytirish maksadida, oshkormas sxemali almashtirishlar yordamida berilgan xususiy xosilali differensial tenglamani kanday yechish mumkinligini kurib chikamiz. Buning uchun tugun nuktalar uchun
chekli-ayirmali formulani (2’) formulaga kuyadigan bulsak,
(5)
formula xosil buladi.
(5) formula uchun kerakli almashtirishlarni bajarib,
(6)
va kuyidagi belgilashlarni kiritib,
va ;
(bu yerda -xar bir nukta uchun ) kuyidagi uch diogonalli tenglamalar sistemasini xosil kilamiz:
(7) ( )
Xosil bo’lgan tenglamalar sistemasi ning xar bir kiymatida ta tenglama va ta noma’lumlardan iborat. Yetishmayotgan 2 ta tenglamani chegaraviy shartlardan olamiz. Natijada ta noma’lumli ta tenglamadan iborat uch diagonalli tenglamalar sistemasi xosil bo’ladi. “Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni xaydash usuli bilan yechish” mavzusida ta’kidlab utilganidek, yukoridagi kurinishdagi tenglamalar sistemasini xaydash usuli bilan yechish uchun noma’lum yechimni (8) kurinishda kidiramiz. Bunda ; formulalar yordamida topiladi. .
Berilgan chegaraviy shartlardan birinchisini, ya’ni nuktadagi shartni va (8) formulani takkoslab, noma’lum koeffitsentlarning boshlangich kiymatlari xosil kilinadi. Natijada, koeffitsentlar barchasi ketma-ket xisoblanadi.
Ikkinchi chegaraviy shartdan, ya’ni dan tenglikni xosil kilamiz. Sungra,
(9)
formula yordamida kolgan barcha tenglamaning kidirilayotgan yechimlari, noma’lum lar xisoblanadi.

2.