Гиперболик типдаги тенгламалар

Giperbolik tipdagi masalalarni tor usuli bilan yechish.

Bizga

ko'rinishidagi tenglama berilgan bo' , bu yerda ma'lum biror sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar, esa topilishi lozim funksiya. sohada shart o'rinli deymiz, ya'ni (1) giperbolik tipga ega. Bundan tashqari, aniqlik uchun da musbat bo'lsin deb hisoblaymiz.
Quyidagi masalalarni ko'ramiz.
Koshi masalasi: sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi shunday funksiya topilsinki, sohada (1) tenglamani qanoatlantirib, to'g'ri chiziqda

boshlang'ich shartlarni qanoatlantirsin, bu yerda berilgan ma'lum funksiyalar.
Aralash chegaraviy masala: sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi shunday funksiyani topilsinki, u da (1) tenglamani qanoatlantirib, to'g'ri chiziqda (2) boshlang'ich shartni va to'g'ri chiziqda quyidagi uch turdagi chegaraviy shartlarni birortasini qanoatlantirsin:
A) birinchi tur chegaraviy shartlar:

B) ikkinchi tur chegaraviy shartlar:

D) uchinchi tur chegaraviy shartlar:

bu yerda berilgan funksiyalar va lar

shartlarni qanoatlantiradi.

1. 
   Koshi masalasini yechish.
   

(1), (2) Koshi masalasini to'r metodi bilan yechish masalasini ko'ramiz. Qadamlari va bo'lgan to'g'ri to'rtburchak to'r olamiz:

va (1) tenglamani to'r sohaning ichki tugunida approksimatsiya etish uchun nuqtalarni jalb qilamiz.
Natijada quyidagi

ko'rinishidagi to' tenglamalar sistemasiga ega bo'lamiz, bu yerda

Agar (1)ning yechimi qaralayotgan sohada va o'zgaruvchilar bo'yicha to'rtinchi tartibgacha hosilalari uzluksiz va chegaralangan bo'lsa, u holda (1)ni (6)ga o'tkazishdagi xatolik ko'rinishida bo'ladi.
(1) boshlang'ich shartlarni

ko'rinishidagi to’r funksiyalar bilan approksimatsiya qilamiz. Ikkinchi boshlang"ich shart approksimatsiyasining xatoligi bo'lishligi ayondir. Shunday qilib, (1), (2) differensial masala (6), (7) to' masalaga o'tkazildi.
(7) formula to'r funksiyaning (nolinchi qatlam)da va (birinchi qatlam)da qiymatlarini topish imkonini beradi. bo'lgandagi ning qiymatlarini esa (6) formula bilan aniqlanadi. Bunda shunday bo 'lishi kerakki ligiga erishish zarur.
Endi qanday bo'lishligini aniqlaymiz. Bu savblga to 'liq javob olish maqsadida quyidagi Koshi masalasini ko'ramiz:

Bu yerda .
Bu holda (6) to'r tenglama

ko'rinishida bo'ladi, (7) esa o'zgarishsiz qoladi. Koordinatalari bo'lgan nuqtada (8), (9) masala yechimining qiymatini hisoblash talab qilingan bo' 1 sin.

Ma'lumki, (8) tenglamaning nuqtadagi yechimining qiymati nuqtadan o'tuvchi

xarakteristikalar to'g'ri chiziqda ajratadigan kesmadagi shartlar bilan, ya'ni kesmadagi boshlang'ich shartlar bilan bir qiymatli aniqlanadi. (8) tenglamaning xarakteristikalari o'zaro perpendikular

uchburchak (8) differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi deyiladi. Agar to'r funksiyaning nuqtadagi yechimi ni (10) formula yordamida hisoblasak, boshlang'ich shartni kesmadagi qiymatlari orqali ifodalanadi. Bu kesma nuqtadan o'tuvchi va o'qi bilan va tashkil etuvchi to'g'ri chiziqlar hosil qilgan uchburchak ning asosidir.

uchburchak (10) ayirmali tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi deyiladi. Yuqoridagi chizmada bo'lgan hol keltirilgan. Bunday hol, ya'ni quyidagi sababga ko'ra yaroqsizdir. Agar boshlang'ich shartlarni va kesmalarda o'zgartirsak, (8), (9) differensial masalaning yechimi sohada, jumladan, nuqtada o'zgarishi kerak. Ammo (10), (7) ayirmali masalaning yechimi esa o'zgarmay qoladi. Demak, bo'lganida (10), (7) ayirmali masalaning yechimi da (8), (9) Koshi masalasi yechimiga yaqinlashmaydi. Shuning uchun to' sohaning qadamlari nisbati shunday bo'lishi kerakki, bo'lsin, ya'ni ning ichida bo'lishi kerak. Shuni eslatamizki, umumiy holda differensial tenglamaning aniqlangan uchburchagi egri chiziqli uchburchakdan iborat bo'ladi, ammo bu uchburchak ayirmali tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi ichida yotishi lozim.
Endi chegaraviy masalani to' usuli bilan yechish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik, (1) tenglamaning (2) boshlang 'ich shartlarni va (5) chegaraviy shartlarni qanoatlantiravchi yechimini topish masalasi berilgan bo"Isin. Berilgan sohani qadamlari va bo'lgan to' bilan qoplaymiz. To'rning ichki tugunlarida tenglamaning approksimatsiyasini, chegaraviy tugunlarida esa (2) va (5) shartlarning approksimatsiyasini qilamiz. Tenglama xatolik bilan (2) boshlang 'ich shart chegaraviy shartlar xatolik bilan approksimatsiya qilingan bo'ladi. (1) ning approksimatsiyasi uchun tugunlar jalb etilgan. Natijada quyidagi ayirmali tenglamalar sistemasi hosil bo'ladi:


Bu (11), (12), (13) to'r masala (1), (2), (5) chegaraviy masalani tenglama bo'yicha boshlang 'ich shartlarni , chegaraviy shartlarni esa xatolik bilan approksimatsiya qiladi. To'r masalani qatlamlar bo'yicha yechish mumkin. Haqiqatan ham, va bo'lganda (12) bilan lar topiladi. So'ng, ni tanlash hisobiga bo'lishligini ta'minlab, (11) formuladan foydalanib larning qiymatini aniqlaymiz, (13) dan esa aniqlanadi. Shunday qilib, da, ya'ni ikkinchi qatlamda larning qiymatlari barcha tugunlarda aniqlanadi. Keyingi qatlamlardagi tugunlarda ham ning qiymatlari shu kabi aniqlanadi.
Bobga tegishli tayanch so zlar: to'r soha, ichki nuqta, chegaraviy nuqta, to'r funksiya, approksimatsiya xatoligi, oshkor sxema, oshkormas sxema, turg'unlik, ayirmali tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi.

3.