I bob Arifmetika va algebraning boshlanishi. Natural va kasr sonlar

13.Golbax masalasi.Sonlar nazariyasidagi hal etilmagan muammolar.

Biz aksariyat hollarda murakkab sonlarni tub sonlar ko’paytnmasi sifatida ifodalaymiz. Har bir murakkab sonni tub sonlar yig’indisi sifatida ifodalash mumkinmi?.

200 yil oldin Peterburg Fanlar Akademiyasi a’zosi Xristian Golbax (1690-1767) shunday taxmin bildiradi: ixtiyoriy 5 dan katta bo’lgan butun toq sonni uchta tub sonlar yig’indisi sifatida ifodalash mumkin.Ayrim misollarda butaxminning to’g’riligini isbotlaydi.Masalan; 13=3+5+5 , 23=5+7+11.

Biroq bu xossa har qanday katta butun sonlar uchun amal qilishiga ishonch hosil qilish uchun umumiy isbot toppish kerak.1742 yilda Golbax ushbu masala bo’yicha Peturburg Fanlar Akademiyasining mashhur matematigi Leonard Eylerga yuzlandi.Eyler bu xossani isbotlay olmasligini aytdi,biroq u shunday taxmin bildirdi:har qanday 2 dan katta bo’lgan jift sonni ikkita tub sonlar yig’indisi sifatida ifodalash mumkin.

Masalan:8=3+5 , 28=11+27 va boshqalar.

Agar Eyler masalasini yechimi mumkin bo’lganida, ya’ni ikkinchi xossa isbotlanganda , unda “Golbax masalasi’ni yechish oson bo’ladi,ya’ni bizda qandaydir butun son mavjud yoki u juft, unda u son ikkita tub sonlar yig’indisiga ajraladi yoki u toq, unda u sondan biror bir tub sonni ayiramiz va juft son qoladi.Eyler bo’yicha juft son ikkita tub sonlar yig’indisiga ajratiladi,ya’ni berilgan son uchta tub sonlar yig’indisiga ajraladi.

Goldbax mmasalasining isboti ustida 200 yil davomida ko’plab buyuk olimlar diqqat bilan o’rganishadi. Ular ichida to’plamlar nazariyasining yaratuvchisi Georg Kantor bu taxminni 4 dan 1000gacha oraliqda bo’lgan juft sonlarga tekshirdi.Obri esa 1000 dan 2000 gacha (bu oraliqda har bir juft son, ular tomonidan ikkita tub sonlar yig’indisiga ajratiladi) va boshqalar.

Goldbax masalasini yechish yo’lida dastlabki yirik muvaffaqiyatlarga yosh sovet matematigi Lev Genrixovich Shnerelman (1905-1938) erishdi, u 1930 yilda har qanday butun son k dan ortiq bo’lmagan tub sonlar yig’indisi qurilishida ifodalash mumkin ekanligini isbotladi , bu yerda k-qandaydir ma’lum, ammo bizga aniq son. Shunday qilib Goldbax masalasining yechimi k (“Shnerelman soni”)ning 3 ga tengligini isbotlashga keltirildi.Dastlab k yuzminglar atrofida baholanadi,ammo tez orada sovet va chet el matematiklari mehnatlari natijasida “Shnerelman soni” ning baholanishi anchaga qisqardi. Hozirgi kunda k 20 ga olib kelingan .

Goldbax masalasini yechimi yo’lida eng katta muvofaqqiyatga 1937-yilda sovet matematigi ,sotsialistik mehnat qahramoni akademik Vinogradov (1891-yilda tavallud topgan) erishdi: u ixtiyoriy yetarlicha katta toq bo’lgan sonki, uchta tub sonlar yig’indisi sifatida ifodalash mumkin ekanligini isbotladi.Akademik Vinogradov tomonidan olingan natija XX asrning birinchi yarmida yorqin matematik yutuqlardan biri hisoblanadi.Shunday bo’lsada, Goldbax-Eyler masalasi hali butunlay yechimga ega emas,negaki Vinogradov isbotida barcha sonlar haqida emas faqat toq son va yetarlicha katta sonlar haqida so’z boradi.