larda
∎
figura
chegaralanmagan doskaning istalgan xonaidan boshqasiga bora oladi.?
9.16.
(15) 5x5 jadvalning har bir xonasida bittadan o’rgimchak bor.
O’rgimchaklarning har biri qo’shni xonaga sakradi. Kamida bitta xona bo’sh
qolganligini ko’rsating.
9.17.
(15) To’g’ri to’rtburchak shaklidagi korobka 2x2 va 1x4 plitkalar bilan
qoplangan edi. Tasodifan bitta 2x2 plitka yo’qolib qoldi, uning o’rniga bitta 1x4
plitka bor edi. Shunfan keyin ham korobkani ular yordamida qoplab chiqish
mumkinmi?
9.18.
(20) (MO 60) 4x
𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁
o’lchamli shaxmat doskasida ot yordamida
hamma xonalarni aniq bir martadan bosib o’tib yana dastlabki holatga qaytish
mumkin emasligini ko’rsating.
9.19.
(15) (
Yugoslaviya 81
) Sichqoncha qirrasi uchga teng bo’lgan kub
shaklidagi pishloq bo’lagini 27 ta birlik kublarga ajratdi. Sichqocha qaysidir
kubchani yesa undan so’ng faqat dastlabki kub bilan umumiy tomonga ega bo’lgan
kubchani yeyishi mumkin. Sichqoncha markaziy kubikdan boshqa hamma kublarni
yeb tugatishi mumkinmi?
9.20.
(20)(
BO 77)
Tomoni 100 ga teng bo’lgan kvadrat shaklidagi qog’oz
birlik kvadratchalarga ajratildi. Umumiy nuqtalarga ega bo’lmagan o’z-o’zini
kesmaydigan jadval xonalari bo’ylab yo’nalgan bir necha siniq chiziqlar o’tkazildi.
Bu siniq chiziqlar kvadratning ichida qat’iy joylashgan bo’lsa kvadratning
uchlaridan farqli shunday tugun mavjud ekanligini ko’rsatingki u birorta ham siniq
chiziqda yotmasin.
9.21.
(25) (
BO 82
) Aylanada
3𝑘
ta nuqta tanlangan bo’lib ular aylanadan
𝑘
ta uzunligi 1 ga teng bo’lgan,
𝑘
ta uzunligi 2 ga teng bo’lgan va
𝑘
ta uzunligi 3 ga
teng bo’lgan yoylar ajratadi. Bu nuqtalar ichida o’zaro diametral qarama-qarshilari
mavjud ekanligini ko’rsating.
9.22.
(15) Doira oltita teng sektorlarga ajratilib ularga 0, 1, 2, 0, 2, 1 sonlari
ko’rsatilgan tartibda yozib chiqildi. Har qadamda istalgan ikki qo’shni
sektorlardagi sonlarga 1 ni qo’shish yoki ayirishga ruxsat etilgan. Qachondir
hamma sektorlardagi sonlarni teng qilib chiqish mumkinmi?
9.23.
(15) Qavariq oltiburchakning uchlariga
8,3,12,1,10,6
sonlari yozib
chiqildi (ko’rsatilgan tartibda). Har qadamda istalgan ikki qo’shni uchlardagi
sonlarga istalgan sonni qo’shishga ruxsat berilgan. Bir necha shunday qadamlardan
so’ng
5,2,14,6,13,4
ketma-ketlikni hosil qilish mumkinmi?
9.24.
(15)
32,46,52,66
sonlari berilgan. Har qadamda har bir son qolgan
uchta sonlarning o’rta arifmetigiga almashtiriladi. Bir necha qadamlardan so’ng
quyidagi to’rtliklarni hosil qilish mumkin emasligini ko’rsating:
a)
36,45,50,56 𝑏) 29, 44, 58, 65
9.25.
(20) (BO 81) Kubning har bir uchiga biror son yozilgan. Har qadamda
kubning istalgan qirrasini tanlab olib , undagi raqamlarni 1 ga orttirishga ruxsat
berilgan. Agar dastlab sonlar
kabi joylashtirilgan bo’lsa bir necha qadamlardan so’ng kubning uchlaridagi
barcha sonlarni o’zaro teng qilish mumkinmi?
9.26.
(20) (ShT) Doskaga
1, 2, 3, … , 20
sonlari yozilgan bo’lib har qadamda
doskadagi ikki
𝑎, 𝑏
sonlarini o’chirib ularning o’rniga
𝑎𝑏 + 𝑎 + 𝑏
sonini
yozishga ruxsat berilgan. 19 qadamdan so’ng doskada qoladigan son
o’chirilayotgan sonlarning qanday tanlanishiga bog’liq emasligini ko’rsating va bu
sonni toping.
9.27.
(20) (BO 80) Bizga qandaydir sonlar uchligi berilgan.Ularning
istalgan ikkitasi ustida quyidagi operatsiyani amalga oshirishga ruxsat berilgan.
−
Agar bu sonlar juftligi
(𝑎, 𝑏)
bo’lsa, ularni
(
𝑎+𝑏
√2
,
𝑎−𝑏
√2
)
juftlikka
almashtirish;
Shunday operatsiyalardan bir nechtasi yordamida
(1; √2; 1 + √2)
uchlikdan
(2; √2;
1
√2
)
uchlikni hosil qilishimiz mumkinmi?
9.28.
(15) (Sankt-Peterburg 96) Doskga bir nechta natural sonlar yozilgan.
Har qadamda doskadagi sonlarni ularning o’rniga bu sonlarning
𝐸𝐾𝑈𝐵
va
𝐸𝐾𝑈𝐾
lariga almashtirishga ruxsat berilgan. Bu almashtirish qachondir tugashini
ko’rsating.
9.29.
(20) (BO 88) Doskaga 1 va 2 sonlari yozilgan. Har qadamda doskadan
ikkita
𝑎, 𝑏
sonlarini tanlab doskaga yangi
𝑎𝑏 + 𝑎 + 𝑏
sonini yozishga ruxsat
berilgan. Shu qadamlar yordamida
𝑎) 13121 𝑏) 12131
sonlarini hosil
qilish mumkinmi?
9.30.
(20)
12 −
o’rinli aylana stolga mehmonlarning ismi yozilgan
kartochkalar joylashtirilgan. Mehmonlar kelishdi va o’rindiqlarga o’tirishdi. Stolni
shunday aylantirish mumkinligini ko’rsatingki, kamida ikkita mehmon o’z o’rniga
joylashgan bo’lsin.
9.31.
(15) Shaxmat doskasining
64
ta katagiga sonlar shunday joylashtirilib
chiqildiki bunda birinchi qatorda chapdan o’ngga qarab
1 − 8
sonlari, ikkinchi
qatorda
9 − 16
sonlari joylashtirildi va hokazo.
Doskaga bir-birini ura olmaydigan qilib 8 ta ladya joylashtirildi va shu
ladyalar turgan satrlardagi sonlar yig’indisi hisoblandi. Hosil bo’lgan yig’indining
qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarini toping.
9.32.
(10)
𝑚
x
𝑛
jadvalga sonlar shunday yozib chiqildiki bunda har bir satr
va har bir ustundagi sonlar yig’indisi
1
ga teng, isbotlang:
𝑚 = 𝑛
9.33.
(15) a) 8x8 jadvalning qandaydir katagi qora rangga qolganlari esa
oq rangga bo’yalgan. Har qadamda jadvalning istalgan satri yoki ustunidagi
katakchalar rangini almashtirishimiz mumkin. Qachondir jadvalning barcha
kataklarini bir xil rangli qilishimiz mumkinmi?
b) Agar jadval 3x3 o’lchamda bo’lsachi? Bundan tashqari yana bir
burchakdagi katakcha ham qora rangga bo’yalsachi?
9.34.
(15) Yuqoridagi masalani jadval 8x8 o’lchamda bo’lgan va barcha
burchaklardagi katakchalar qora , qolgan katakchalar oq rangga bo’yalgan hol
uchun isbotlang.
9.35.
(15) Shaxmat doskasi berilgan bo’lib har qadamda
𝑎)
istalgan satr yoki ustundagi barcha katakchalarni
𝑏)
istalgan 2x2 katakchadagi barcha katakchalari teskari rangga bo’yashga
ruxsat etilgan bo’lsa, jadvalning faqat bitta katakchasini qora rangda bo’ladigan
qilib bo’yashlarni amalga oshirish mumkinmi?
9.36.
(20) (BO 91)
a)
𝑛
x
𝑛
jadvalning har bir katakchasi
(𝑛 − 1)
rangning biriga bo’yaldi.
Har qadamda jadvalning istalgan satri yoki ustunidagi barcha katakchalarni biror
rangga (shu satr yoki ustunda kamida ikkita shu rangli katakcha bo’lsa )
bo’yashimiz mumkin. Jadvalning barcha katakchalarini bir xil rangga bo’yash
mumkinmi?
b)
1991
x
1991
jadvalning har bir katakchasi ikki rangning biriga bo’yalgan.
Har qadamda jadvalning istalgan satr yoki ustunidagi barcha katakchalarni shu satr
yoki ustunda uchraydigan biror rangga bo’yashimiz mumkin. Jadvalning barcha
katakchalarini bir xil rangga bo’yash mumkinmi?
9.37.
(15) (BO 88) 4x4 jadvalning katakchalariga
“ + ”
va
“ − “
lar
quyidagi kabi yozib chiqildi.
Har qadamda jadvalning istalgan satri, ustunida yoki bosh
dioganaliga parallel bo’lgan istalgan chiziqda yotuvchi barcha
katakchalardagi ishoralarni teskarisiga almashtirishga ruxsat
berilgan. Bunday almashtirishni qancha bajarmaylik faqat bitta
“ +
”
bo’ladigan jadvalni hosil qila olmasligimizni ko’rsating.
9.38.
4x4 jadvalning katakchalariga
“ + ”
va
“ − “
lar quyidagi kabi yozib
chiqildi.
Har qadamda jadvalning istalgan satri yoki ustunida yotuvchi barcha
katakchalardagi ishoralarni teskarisiga almashtirishga ruxsat berilgan. Bunday
almashtirishni qancha bajarmaylik faqat bitta
“ + ”
bo’ladigan jadvalni hosil
qilishimiz mumkinmi?
9.39.
(30) 4x4 jadvalning katakchalariga
“ + ”
va
“ − “
lar qandaydir
tartibda yozib chiqilgan. Har qadamda jadvalning istalgan satri yoki ustunida
yotuvchi barcha katakchalardagi ishoralarni teskarisiga almashtirishga ruxsat
berilgan. Almashtirishlarni shunday toki eng kam sonli minuslar hosil bo’lgunga
qadar takrorlaymiz. Kelish mumkin bo’lgan eng kam sonli minuslar soni berilgan
jadvalning xarakteristikasi deyiladi. Xarakteristikaning qabul qilishi mumkin
bo’lgan qiymatlarini aniqlang.
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
+
+
+
+
+
+
9.40.
(30) (BO 76) Markazi
𝑂
nuqtada bo’lgan muntazam
𝑛 −
burchakning uchlariga
(+1)
va
(−1)
sonlari yozib chiqilgan. Har
qadamda qandaydir markazi
𝑂
nuqtada bo’lgan qandaydir
𝑘 −
burchakning
uchlarini tashkil etuvchi uchlardagi sonlarning barchasini ishorasini o’zgartirishga
ruxsat berilgan. (bunda
2 −
burchak deb o’rtasi
𝑂
nuqtada bo’lgan istalgan
kesmani olamiz) Agar
𝑎) 𝑛 = 15; 𝑏) 𝑛 = 30; 𝑐) 𝑛 > 2
bo’lsa u holda
(+1)
va
(−1)
sonlarini shunday (boshlang’ich holatda)
joylashtirib chiqish mumkin ekanligini ko’rsatingki ko’pburchaking uchlarida
faqat bitta
(+1)
bo’ladigan holatga kelib bo’lmasin.
d) Istalgan
𝑛 ∈ 𝑁
uchun
(+1)
va
(−1)
sonlarining biridan ikkinchisiga
o’tib bo’lmaydigan turli o’rinlashtirishlari sonining mumkin bo’lgan eng katta
qiymati:
𝐾(𝑛)
ning qiymati nechaga teng bo’ladi. Masalan: isbotlang:
𝐾(200) = 2
80
9.41.
(15) Qatorga 100 ta tanga terilgan :
𝑠𝑜𝑛, 𝑔𝑒𝑟𝑏, 𝑠𝑜𝑛, 𝑔𝑒𝑟𝑏, …
. Har
qadamda istalgan sondagi ketma-ket kelgan tangalarni ag’darishimiz mumkin.
Qanday eng kam sonli ag’darishlar yordamida
𝑠𝑜𝑛, 𝑠𝑜𝑛, 𝑠𝑜𝑛, 𝑠𝑜𝑛, …
ni hosil
qilishimiz mumkin?
9.42.
(20) Kubning 6 yoqiga orasida 0 va 1 bo’lgan oltita son yozib
chiqildi. Shundan so’ng har bir son o’ziga qo’shni bo’lgan 4 sonning o’rta
arifmetigiga almashtirildi. Hosil bo’lgan yangi sonlar bilan yana shu operatsiya
amalga oshirildi. Jarayon 25 marta takrorlandi. Natijada yana dastlabki holatga
qaytildi. Hisob-kitoblarda xatolikka yo’l qo’yilganligini ko’rsating.
9.44.
(20) Kubning 8 uchiga orasida 0 va 1 bo’lgan sakkizta son yozib
chiqildi. Shundan so’ng har bir son o’ziga qo’shni bo’lgan uch sonning o’rta
arifmetigiga almashtirildi. Hosil bo’lgan yangi sonlar bilan yana shu operatsiya
amalga oshirildi. Jarayon 10 marta takrorlandi. Natijada yana dastlabki holatga
qaytildi. Bu sonlarni toping.
9.45.
(15) (MO 70)
1234567891011 … 1000
soni 1 dan 9 gacha bo’lgan
butun songa ko’paytirildi va ko’paytmaning barcha 1 lari o’chirildi. Shundan
so’ng u yana 1 dan 9 gacha bo’lgan butun songa ko’patirildi va yana hamma 1 lar
o’chirib chiqildi. Bunda kamida qanday son hosil bo’lishi mumkin?
9.46.
(20) Qandaydir mamlakatda har bir shahardan juftta yo’l chiqqan. Har
bir shaharning markaziga oq yoki qora bayroq o’rnatilgan.
9.47.
(20) Moskvaning turli masshtabli ikki xaritasida ustma-ust qo’yildi,
bunda kichik xarita to’laligicha katta xaritada yotadi. Xaritalarning qandaydir
ustma-ust tushgan biror nuqtasi aynan bir joyni ko’rsatishini ko’rsating.
9.48.
(20) Tekislikda
𝑁
ta nuqta berilgan. Qandaydir nuqtalar kesmalar
bilan tutashtirilgan. Agar kesmalar kesishsa ularni oxirlari shu nuqtalarda bo’lgan
boshqa ikki kesmalarga almashtirish mumkin. Bu jarayon cheksiz davom ettirish
mumkinmi?
9.49.
(20) (BO 61)
𝑚
x
𝑛
jadvalning xonachalariga sonlar yozib chiqildi.
Har qadamda biror satr yoki biror ustundagi barcha sonlarning ishorasini
almashtirishga ruxsat berilgan. Bir necha qadamlardan so’ng har bir satr va har bir
ustundagi sonlarning yig’indisini nomanfiy qilishimiz mumkinligini ko’rsating.
9.50.
(20) (BO 79) Parlamentning har bir a’zosining dushmani 3 tadan ko’p
emas. Bu parlamentni ikkita palataga shunday ajratish mumkinligini ko’rsatingki
har bir parlamentariyning (Agar
𝐵
ning dushmani
𝐴
bo’lsa, u holda
𝐴
ning
dushmanlaridan biri
𝐵
bo’ladi deb hisoblaymiz)
9.51.
(20) (Pekin 64) Halqali yo’lda benzokolonkalar bor, bunda barcha
benzokolonkadagi benzin butun yo’lni aylanib chiqish uchun yetarli. Shunday
benzokolonka mavjudligini ko’rsatingki undan turgan (bo’sh bakli) mashina butun
yo’lni aylanib chiqa olsin.
9.52.
(20) (BO 61) a) Berilgan musbat sonlar
(𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑)
to’rtligidan
(𝑎𝑏; 𝑏𝑐; 𝑐𝑑; 𝑑𝑎)
sonlar to’rtligiga o’tishimiz mumkin. Ikkinchi to’rtlikdan yana
shu qoidaga ko’ra yangi sonlar to’rtligi hosil qilinadi va hokazo. Shunday
qadamlar yordamida
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 1
bo’lmaganda yana
(𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑)
to’rtlikni hosil qilish mumkin emasligini ko’rsating.
b) Uzunligi
2
𝑘
ga teng bo’lgan
±1
sonlarning istalgan to’plamidan
quyidagi qoida bo’yicha yangi sonlar to’plami hosil qilinishi mumkin: har bir son
o’zidan keying songa, oxirgi son esa birinchi songa ko’paytiriladi. Qachondir yana
dastlabki to’plam hosil bo’lishini ko’rsating.
9.53.
(20) (BO 64) Ixtiyoriy
𝑛
ta
𝑎
1
, 𝑎
2
, … , 𝑎
𝑛
butun sonlar to’plami
berilgan. Undan yangi
𝑎
1
+𝑎
2
2
;
𝑎
2
+𝑎
3
2
, … ,
𝑎
𝑛−1
+𝑎
𝑛
2
,
𝑎
𝑛
+𝑎
1
2
to’plamni hosil qilishimiz
mumkin. Agar har bir qadamda hosil bo’ladigan sonlarning barchasi butun sonlar
ekanligi ma’lum bo’lsa u holda dastlab berilgan sonlarning barchasi o’zaro teng
ekanligini isbotlang.
9.54.
(20) (BO 71) Doira bo’ylab bir nechta son yozilgan. Agar qandaydir
ketma-ket kelgan
(𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑)
to’rtligi uchun
(𝑎 − 𝑑)(𝑏 − 𝑐) < 0
bo’lsa u
holda
𝑏
va
𝑐
larning o’rnini almashtirishimiz mumkin. Bu operatsiyani faqat
chekli sonda amalga oshirish mumkin ekanligini ko’rsating.
9.55.
(20) (BO 74) Biga bir nechta qizil va bir nechta ko’k nuqtalar berilgan.
Ularning ba’zilari kesmalar bilan tutashtirilgan. Nuqtani
Dostları ilə paylaş: |