Kaotik Haritalı Parçacık Sürü Optimizasyon Algoritmaları

Kaotik Haritalı Parçacık Sürü Optimizasyon Algoritmaları
Bilal Alataş Erhan Akın A. Bedri Özer

Bilgisayar Mühendisliği Bölümü, Fırat Üniversitesi, Elazığ

e-posta: {balatas, eakin, bozer}@firat.edu.tr

Özetçe

Bu çalışmada parçacık sürü optimizasyon (PSO) algoritmasının parametrelerinin belirlenmesinde rasgele tabanlı bir seçim söz konusu olduğunda farklı kaotik sistemler rasgele sayı dizilerinin yerine kullanılmış ve on iki farklı PSO önerilmiştir. Bu şekilde PSO’nun global yakınsama özelliğinin arttırılması ve lokal çözümde takılıp kalması önlenmeye çalışılmıştır.

1.Giriş

PSO kuş ve balık sürülerinden esinlenerek geliştirilmiş popülasyon tabanlı arama ve optimizasyon algoritmasıdır [1]. Diğer evrimsel algoritma ve matematiksel temelli algoritmalara göre fazla hafıza gerektirmez, hesapsal olarak etkili ve uygulaması kolay bir optimizasyon yöntemidir. Ayrıca hızlı yakınsama özelliğine sahiptir. PSO’nun arama başlangıcında global arama kabiliyetine sahip olası ve arama sonlarına doğru lokal arama kabiliyetine sahip olması gerekmektedir. Bu yüzden çok fazla lokal optimum noktası bulunan problemlerle çalışırken çalışma sonunda lokal optimum noktaları keşfetme olasılığı fazladır. Birçok araştırmacı farklı ve değişik ayarlamalarla PSO’nun performansını arttırma yoluna gitmiştir.

PSO’nun yakınsama özelliği, çalıştırma sırasında parametreleri için rasgele sayı dizisi kullanan stokastik doğasına oldukça bağlıdır. PSO algoritmasında özellikle, farklı rasgele sayı dizileri kullanıldığında elde edilen son sonuçlar birbirine çok yakın olabilir ancak eşit olmayabilir. Aynı optimum değerlere ulaşabilmek için farklı iterasyon sayılarına ihtiyaç duyulabilir. Fakat diğer evrimsel algoritmalarda da olduğu gibi, PSO algoritmalarının performansını arttırmayı garanti eden özel bir sayı üretecine bağlı analitik sonuçlar yoktur [2].

Son zamanlarda kaotik sayı dizileri rasgele sayı dizilerinin yerini almış ve bazen güzel sonuçlar elde edilmiştir. Bunlara örnek olarak güvenli iletişim [3], doğal fenomen modelleme [4], doğrusal olmayan devreler [5], DNA hesaplama [6], imge işleme [7] verilebilir. Ayrıca evrimsel algoritmalarının performanslarını arttırmak için de kullanılmıştır [2]. Kaotik sayı dizilerinin kullanılması teorik olarak bunların tahmin edilemezliği, yayılmış spektrumlu karakteristiği ve ergodik özelliklerinden dolayı artmıştır.

Bu çalışmada PSO’nun parametrelerinin belirlenmesinde rasgele tabanlı bir seçim söz konusu olduğunda farklı kaotik sistemler rasgele sayı dizilerinin yerine kullanılmış ve on iki farklı PSO önerilmiştir. Bu şekilde PSO’nun global yakınsama özelliğinin arttırılması ve lokal çözümde takılıp kalması önlenmeye çalışılmıştır. Mesela Trelea, çalışmasında atalet ağırlığı değerinin PSO’nun yakınsamasını etkileyen temel faktörlerin biri olduğu belirtmiştir [8]. Ayrıca r₁ and r₂ değerleri de yakınsamayı etkileyen faktörlerdir. Ancak, aslında, bu parametreler faz uzayında algoritmanın ergodik özelliğini garanti edemezler çünkü bunlar PSO’da rasgeledir.

2.Parçacık Sürü Optimizasyon Algoritması

Sezgisel yöntemlerden biri olan Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO) algoritması kuş ve balık sürülerinin hareketlerinden esinlenerek doğrusal olmayan nümerik problemlere optimal sonuçlar bulmak için ilk olarak 1995-1996 yıllarında sosyo-psikolog James Kennedy ve elektrik mühendisi Russel Eberhart tarafından ortaya atılmış popülasyon tabanlı stokastik bir optimizasyon yöntemidir [1]. Çok parametreli ve çok değişkenli optimizasyon problemlerine çözümler üretmek için kullanılmaktadır.

PSO, optimum ya da optimuma yakın çözüm bulmak için önce her biri aday çözümü sunan bireyler (parçacıklar) oluşturur. Bir sürü D-boyutlu arama uzayında hareket eden N tane parçacıktan oluşur. i. Parçacığın t anındaki pozisyonu herhangi bir arama ya da optimizasyon problemi için parçacığın kalitesini değerlendirmede kullanılır ve aday çözüm ya da çözümleri temsil eder. x_i(t)= (x_i1, x_i2, . . . , x_iD) ile temsil edilir. Burada x_i,n(t)[l_n, u_n], 1nN l_n ve u_n sırayla n. boyutun alt ve üst sınırlarını gösterir. PSO, bireyler arasındaki bilginin paylaşımını esas alır. Her bir parçacık arama boyunca kendi pozisyonunu sürüdeki en iyi pozisyona doğru ayarlarken, bir önceki tecrübesinden de yararlanır. Yani pozisyonunu iki faktöre göre ayarlar: p_i,j = (p_i1, p_i2, . . . , p_iD) şeklinde gösterilen kişisel en iyi pozisyonu (peniyi) ve p_g = (p_g1, p_g2, . . . , p_gD) şeklinde gösterilen tüm sürüdeki en iyi pozisyon (geniyi). t. iterasyondaki hızı v_i(t) = (v_i1, v_i2, . . . , v_iD) ile gösterilir ve v_imax = (v_imax1, v_imax2, …, v_imaxD) ile sınırlandırılır. Parçacığın bir sonraki hız ve pozisyonu aşağıdaki denklemlere göre hesaplanır:

(1)

(2)

Algoritma iki bağımsız gelişigüzel diziyi kullanır, r₁ ~ U(0, 1) ve r₂ ~ U(0, 1) ve bunlar algoritmanın stokastik oğasını etkilemek için kullanılır. c₁ ve c₂ katsayıları 0 < c₁, c₂ 2 öğrenme faktörleridir ve hızlanma katsayıları olarak adlandırılır. Burada w[0.8, 1.2] atalet ağırlığıdır ve orijinal PSO hız güncelleme denklemi w = 1’dir. Atalet ağırlığı, bir önceki hızın ne kadarının bir önceki zaman adımından tutulacağını gösterir. Kısaca, PSO da atalet ağırlığı global ve yerel arama yeteneğini dengelemek için kullanılır. Büyük atalet ağırlığı global arama, küçük ağırlık ise yerel arama yapılmasını kolaylaştırır. Atalet ağırlığı yerel ve global arama arasındaki dengeyi sağlar ve bunun sonucunda yeterli optimal sonuca daha az iterasyonla ulaşılır. Bu yüzden uygun değerinin belirlenmesi kritik önem arz edebilir.

PSO algoritmasının çalışması esnasında, boyutlar için alt sınır ya da üst sınırın aşılması durumunda bir düzeltme işlemi uygulanması gerekmektedir.

Bir parçacığın bu üç terime bağlı hareketi Şekil 1‘de gösterilmiştir. PSO’nun temel adımlarını gösteren akış diyagramı Şekil 2’de verilmiştir.

Şekil 1: Parçacığın iki boyuttaki hareketi



Şekil 2: PSO’nun akış diyagramı

3.Kaotik Haritalar

Kompleks fenomenleri modellemede, örneklemede, sayısal analizde, karar vermede ve özellikle bu tez konusunu da içeren sezgisel optimizasyon yöntemlerinde uzun periyotlu rasgele sayı dizileri çok önemli bir yer tutmaktadır. Üretilen sayılar için fazla depolama alanı kullanılmamalı ve istenen bir doğruluğa ulaşmak için fazla zamana gereksinim duyulmamalıdır. Bu şekilde üretilen sayılar bir uygulama için yeterince “rasgele” olurken başka bir uygulama için yeterince rasgele olmayabilir.

Kaos periyodik olmayan, yakınsamayan ve sınırlı olan, doğrusal olmayan dinamik sistemler bulunan deterministik, rasgele benzeri bir süreçtir. Ayrıca başlangıç şartları ve parametrelerine oldukça bağlıdır [9]. Kaosun doğası görünürde rasgele ve tahmin edilemezdir. Ayrıca kendi içerisinde bir düzene sahiptir. Hatta çoğu kez düzen içinde düzensizlik ya da düzensizlik içinde düzen olarak da tanımlanmaktadır. Matematiksel olarak, basit deterministik dinamik bir sistemin rasgeleliğidir ve kaotik sistem rasgelelik kaynağı olarak düşünülebilir.

Kaotik bir harita ayrık zamanlı dinamik bir sistemdir ve kaotik durumda ilerleyen

(3)

genel denklemiyle temsil edilebilir. Kaotik sayı dizisi

yayılmış spektrumlu rasgele sayı dizisi olarak kullanılabilir.

Kaotik sayı dizilerinin üretilmelerinin ve depolanmalarının kolay ve hızlı olduğu ispatlanmıştır, uzun sayı dizilerinin depolanmalarına gerek yoktur. Sadece birkaç fonksiyon (kaotik harita) ve birkaç parametre (başlangıç şartı) çok uzun diziler için bile yeterlidir. Ayrıca, çok fazla sayıda farklı sayı dizisi basitçe başlangıç şartı değiştirilerek çok kolay bir şekilde üretilebilir. Bu sayı dizilerinin bir özelliği de deterministik olmaları ve tekrar üretilebilmeleridir.

Kaotik haritalı PSO’da ergodik, düzensizlik ve stokastik özellikli kaotik haritalar kullanılarak diğer PSO yöntemlerindekinden daha kolayca lokal çözümden kaçabilmeyi sağlamak amaçlanmıştır. Bu şekilde global yakınsamanın arttırılması hedeflenmiştir. Rasgele sayılar özel bir kaotik harita bir adım ilerletilerek üretilmektedir. Yani, PSO’da ilk iterasyondan itibaren rasgele sayı üretimine ihtiyaç duyulduğunda seçilen kaotik harita seçilen bir başlangıç noktasından başlanarak birer adım ilerletilir. PSO parametreleri için bu çalışmada kullanılan kaotik sayı üreten haritalar aşağıda listelenmiştir.

3.1. Lojistik Harita

En basit ve en çok kullanılan haritalardan birisidir [10]. Bu kaotik davranış gösteren biyolojik popülasyonların doğrusal olmayan dinamiklerinde ortaya çıkmıştır. Lojistik harita denklem (4)’de verilmiştir.
X_n+1 = aX_n(1 – X_n) (4)
Bu denklemde, n iterasyon sayısını göstermekte, X_n de n. kaotik sayıyı temsil etmektedir. Başlangıç X₀(0, 1) olduğunda X_n (0, 1) olduğu görülmektedir. Ayrıca X₀{0.25, 0.5, 0.75}. Deneylerde a=4 seçilmiştir.

3.2.Sinüzoidal Yineleyici

Kullanılan üçüncü üreteç sinüzoidal yineleyici [10] olarak adlandırılmaktadır ve denklem (5)’teki gibi temsil edilmektedir.

(5)

a=2.3 ve X₀=0.7 seçildiğinde denklem (6)’daki gibi basitleştirilmiş formda gösterilebilir.

(6) Bu harita da (0, 1) aralığında sayılar üretmektedir.

3.3.Gauss Haritası

Literatürde test amaçlı kullanılan Gauss haritası [11] denklem (7)’deki gibi temsil edilmektedir:

(7)

(8)

z’den küçük en büyük tamsayıyı temsil etmektedir. Bu harita da (0, 1) aralığında sayılar üretmektedir.

3.4.Zaslavskii Haritası

Zaslavskii haritası [12] de ilginç bir dinamik sistemdir ve şu şekilde temsil edilmektedir:

(9)

(10)

Yayılmış karakteristikli ve büyük Lyapunov üstelleri ile tahmin edilemezliği ispatlanmıştır. Bu harita v=400, r=3, a=12 için en büyük Lyapunov üstelli garip çekici özelliği gösterir. Bu durumda Y_n+1[-1.0512, 1.0512].

4.Kaotik Haritalı Parçacık Sürü Optimizasyon (KHPSO) Algoritmaları

Yeni kaotik haritalı PSO algoritmaları basitçe aşağıda sınıflandırılmış ve açıklanmıştır. Burada kişisel en iyi ile global en iyi ise ile gösterilmiştir.

• 
  KHPSO1: Başlangıç hız ve pozisyonların değerleri, sürü boyutuna ulaşılıncaya kadar seçilen kaotik haritanın yinelenmesiyle üretilir. Güncellemelerdeki diğer değerler Clerc’in [13] önerdiği şekildedir.
  
• 
  KHPSO2: Denklem (1)’in c₁ parametresi seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(11)

Burada CM₁ seçilen kaotik harita tabanlı bir fonksiyondur ve (0.5, 2.5) arasında değer alacak şekilde ölçeklenmiştir.

• 
  KHPSO3: Denklem (1)’in c₂ parametresi seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(12)

Burada CM₂ seçilen kaotik harita tabanlı bir fonksiyondur ve (0.5, 2.5) arasında değer alacak şekilde ölçeklenmiştir.

• 
  KHPSO4: Denklem (1)’in c₁ ve c₂ parametreleri seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(13)

Burada CM₁ ve CM₂ seçilen kaotik harita tabanlı fonksiyonlardır ve (0.5, 2.5) arasında değer alacak şekilde ölçeklenmiştir.

• 
  KHPSO5: Denklem (1)’in r_1,j parametresi seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(14)

Burada CM_1,j seçilen kaotik harita tabanlı bir fonksiyondur ve (0.0, 1.0) arasında değerler alır.

• 
  KHPSO6: Denklem (1)’in r_2,j parametresi seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(15)

Burada CM_2,j seçilen kaotik harita tabanlı bir fonksiyondur ve (0.0, 1.0) arasında değerler alır.

• 
  KHPSO7: Denklem (1)’in r_1,j ve r_2,j parametreleri seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(16)

Burada CM_1,j ve CM_2,j seçilen kaotik harita tabanlı fonksiyonlardır ve (0.0, 1.0) arasında değer alır.

• 
  KHPSO8: Denklem (1)’in w, r_1,j ve r_2,j parametreleri seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(17)

Burada CM₁, CM₂, ve CM₃ seçilen kaotik harita tabanlı fonksiyonlardır ve (0.0, 1.0) arasında değer alır.

• 
  KHPSO9: Denklem (1)’in w parametresi seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(18)

Burada CM seçilen kaotik harita tabanlı bir fonksiyondur ve (0.0, 1.0) arasında değer alır.

• 
  KHPSO10: Denklem (1)’in w ve c₁ parametreleri seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(19)

Burada CM₁ ve CM₂ seçilen kaotik harita tabanlı fonksiyonlardır. CM₁ (0.0, 1.0) arasında değer alır ve CM₂ (0.5, 2.5) arasında değer alacak şekilde ölçeklenmiştir.

• 
  KHPSO11: Denklem (1)’in w ve c₂ parametreleri seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(20)

Burada CM₁ ve CM₂ seçilen kaotik harita tabanlı fonksiyonlardır. CM₁ (0.0, 1.0) arasında değer alır ve CM₂ (0.5, 2.5) arasında değer alacak şekilde ölçeklenmiştir.

• 
  KHPSO12: Denklem (1)’in w, c₁ ve c₂ parametreleri seçilen kaotik haritayla değiştirilir ve hız güncelleme denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir:
  

(21)

Burada CM₁, CM₂ ve CM₃ seçilen kaotik harita tabanlı fonksiyonlardır. CM₁ (0.0, 1.0) arasında değer alırken CM₂ ve CM₃ (0.5, 2.5) arasında değer alacak şekilde ölçeklenmiştir.

Burada KHPSO1’ in diğer KHPSO algoritmalarıyla birlikte kullanılabileceği açıkça görülebilmektedir.

5.Kalite Testi Fonksiyonları

Matematiksel fonksiyonlara bağlı iyi tanımlanmış kalite testi fonksiyonları, optimizasyon yöntemlerinin performanslarını ölçmek ve test etmek için kullanılabilir. Bu kalite testi fonksiyonlarının doğası, karmaşıklığı ve diğer özellikleri tanımlarından kolaylıkla elde edilebilmektedir ve çoğu mühendislik problemlerinin doğa ve karmaşıklığına sahiptir. Çoğu kalite testi fonksiyonların zorluk dereceleri parametrelerinin değiştirilmesiyle ayarlanabilir. Literatürde bulunan kalite testi fonksiyonlarından biri tek-modlu (sadece tek bir optimuma sahip) biri de çok-modlu (birçok lokal optimuma ancak tek bir global optimuma sahip) olmak üzere iki tane önemli fonksiyon önerilen yöntemlerin istenen sonucu verebilme yeteneklerini test etmek için seçilmiştir. Bu fonksiyonlar evrimsel algoritmalar ve diğer algoritma araştırıcıları tarafından yaygın olarak kullanılmıştır. Tablo 1 deneylerde kullanılan kalite testi fonksiyonların temel özelliklerini göstermektedir. Aşağıdaki alt bölümler de bu fonksiyonların karakteristiklerini açıklamaktadır.

Tablo 1: Kalite testi fonksiyonları özellikleri

Fonksiyon numarası	Fonksiyon adı	Boyut	Alt sınır	Üst sınır	Optimum	Şekil
1	De Jong	5	-5.12	5.12	0	Tek-modlu
2	Ackley	5	-15	30	0	Çok-modlu

5.1.De Jong Fonksiyonu

Bu minimizasyon amaçlı kullanılan basit, düz, oldukça konveks tek-modlu bir fonksiyondur ve şu şekilde temsil edilmektedir [14]:

(22)

Sınırlar -5.12x5.12’dir. Global minimumu x* = (0, 0, …, 0) noktasındadır ve f₁(x*) = 0. Şekil 3, verilen sınırlarda fonksiyonun grafiğini göstermektedir.

Şekil 3: De Jong Fonksiyonu

5.2.Ackley Fonksiyonu

Bu derin lokal optimumları olan çok-modlu bir fonksiyondur ve değişkenleri birbirinden bağımsızdır [15]. Şu şekilde temsil edilir:

(23)

Arama sınırları −15 ≤ x_i ≤ 30, i = 1, 2, . . . , n’dir. n boyut sayıdır. Global minimum x^* =  (0, …, 0), f₂(x^*) = 0. Şekil 4 fonksiyonun grafiğini göstermektedir.

Şekil 4: Ackley Fonksiyonu

6.Deneysel Sonuçlar

Seçilen kalite testi fonksiyonları KHPSO yöntemleri ve literatürde iyi performans gösterdiği belirtilen diğer PSO yöntemleriyle çözülmüştür. Program için Matlab 6.5 paket programı kullanılmıştır. Seçilen topoloji tüm parçacıkların diğerleriyle komşu olarak kabul edildiği gbest modelidir. Sürü boyutu tüm deneyler için 25 olarak belirlenmiştir. Algoritmaların sonlandırılması için iki kriter seçilmiştir: maksimum iterasyon sayısına ulaşma ve minimum hatayı yakalama.

Algoritmaların stokastik özelliklerini görebilmek için her bir problem için her algoritma yüz kez çalıştırılmıştır. Bu deneyde maksimum iterasyon 5000 olarak belirlenmiş ve algoritmaların potansiyellerinin bulunması amaçlanmıştır. Denklem (24)’te tanımlanmış algoritma başarı oranı farklı PSO yöntemlerinden elde edilen sonuçların karşılaştırılması amacıyla kullanılmıştır.

(24)

N_basarili izin verilen maksimum iterasyon sayısında Q_seviye üzerinde sonuç bulan deneme sayısıdır. N_tüm tüm deneme sayısıdır. Q_seviye, algoritma Q_seviye toleransına yakınsadığında algoritmayı sonlandırma şartıdır ve şu şekilde tanımlanır:

(25)

Aşağıdaki alt bölümlerde sırasıyla test fonksiyonları için elde edilen sonuçlar ve yorumlar sunulmuştur.

6.1.De Jong Fonksiyonu için Sonuçlar

Tablo 2 sınırlayıcısız temel algoritma (Temel-PSO) [1], ZDAA-PSO [16] ve stokastik atalet ağırlıklı PSO (StZDAA-PSO) [17] algoritmalarından elde edilen sonuçları göstermektedir. StZDAA-PSO için atalet ağırlığı değerler (0.5, 1) aralığındadır. Önerilen KHPSO yöntemlerinden elde edilen sonuçlar ise Tablo 3’te gösterilmiştir. Bu problem için, KHPSO yöntemlerinin Temel-PSO’dan daha fazla ve diğerleriyle de eşdeğer performans gösterdiği görülmektedir.

6.2.Ackley Fonksiyonu için Sonuçlar

Tablo 4 Ackley fonksiyonu için sınırlayıcısız temel algoritma (Temel-PSO) [1], ZDAA-PSO [16] ve stokastik atalet ağırlıklı PSO (StZDAA-PSO) [17] algoritmalarından elde edilen sonuçları göstermektedir. KHPSO yöntemlerinden elde edilen sonuçlar ise Tablo 5’te gösterilmiştir. Bu fonksiyon sonuçlarından KHPSO yöntemlerinin diğerlerine göre daha iyi sonuç verdiği görülmektedir. Zavlavskii haritası kullanan KHPSO7 yönteminin diğerleri arasında en iyi yöntem olduğu da sonuçlardan kolayca görülebilmektedir. Kaosun optimizasyon problemlerinde optimum noktaları arayan bazı yöntemler için aranan bir süreç olduğu anlaşılmaktadır.

7.Sonuçlar

Bu çalışmada PSO’nun parametrelerini ayarlamak için farklı kaotik haritalar kullanılmıştır. Bu, klasik PSO’da rasgele sayıya her ihtiyaç duyulduğunda kaotik sayı üreteci kullanılarak yapılmıştır. On iki kaotik haritalı PSO yöntemi önerilmiştir ve kalite testi fonksiyonlarında dört kaotik harita analiz edilmiştir. PSO ve kompleks dinamik gibi farklı alanlarda gelişen sonuçların birleştirilmesi bazı optimizasyon problemlerinde kaliteyi arttırabilmektedir ve kaos istenen bir süreç olabilmektedir. Ayrıca özellikle KHPSO7 ve KHPSO8 yöntemlerinin çözüm kalitesini arttırdığı, yani bazı durumlarda lokal çözümlerden kaçarak global arama kabiliyetini arttırdığı görülmüştür. Önerilen bu yöntemler henüz yenidirler. Bunların dağıtık ve paralel versiyonlarıyla optimize edilmiş parametreler kullanılarak ayrıntılı deneyler yapılabilir.

8.Teşekkür

Bu çalışma Fırat Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri (FÜBAP) Birimi tarafından 1251 No’lu Doktora Projesi kapsamında desteklenmektedir.

9.Kaynakça

1. 
   Kennedy J. and Eberhart R. C. Particle Swarm Optimization. Proc. IEEE Conf. Neural Networks, Perth, Australia, 1942-1948, 1995.
   
2. 
   R. Caponetto, L. Fortuna, S. Fazzino and M.G. Xibilia, Chaotic sequences to improve the performance of evolutionary algorithms, IEEE Trans Evol. Comput., 7(3):289–304,2003.
   
3. 
   Kwokwo Wong, Kwan-Pok Man, Shujun Li and Xiaofeng Liao, More Secure Chaotic Cryptographic Scheme based on Dynamic Look-up Table, Circuits, Systems & Signal Processing, vol. 24, no. 5, pp. 571-584, 2005
   
4. 
   Åke Brännström, Modelling Animal Populations, Umeå University, Doctorate thesis, 2004.
   
5. 
   P. Arena, R. Caponetto, L. Fortuna, A. Rizzo, and M. La Rosa, Self organization in non recurrent complex system, Int. J. Bifurcation and Chaos, vol. 10, no. 5, pp. 1115–1125, 2000.
   
6. 
   G. Manganaro and J. Pineda de Gyvez, DNA computing based on chaos, in Proc. 1997 IEEE International Conference on Evolutionary Computation. Piscataway, NJ: IEEE Press, pp. 255–260, 1997.
   
7. 
   Belkhouche, F., Qidwai, U., Gokcen, I. Joachim, D, Binary image transformation using two-dimensional chaotic maps, Pattern Recognition, ICPR 2004. Proceedings of the 17^th International Conference on Volume 4, Issue , 23-26, Page(s): 823 – 826, 2004
   
8. 
   I.C. Trelea, The particle swarm optimization algorithm: convergence analysis and parameter selection, Inf. Process. Lett. 85 (6), 317–325, 2003.
   
9. 
   H. G. Schuster. Deterministic Chaos: An Introduction. Second Revised Edition, Physick- Verlag GmnH, D-6940 Weinheim, Federal Republic of Germany, 1988.
   
10. 
    R.M. May, Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature 261: 459, 1976.
    
11. 
    H. Peitgen, H. Jurgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1992.
    
12. 
    G. M. Zaslavskii, The simplest case of a strange attractor, Physic Letters A, vol. 69, pp. 145-147, 1978.
    
13. 
    Clerc,M. The Swarm and the Queen: Toward a Deterministi and Adaptive Particle Swarm Optimization. Proceedings of IEEE International Congress of Evolutionary Computation. Washington DC,Vol.13,pp. 1951-1957, 1999.
    
14. 
    De Jong, K.: An Analysis of the Behaviour of a Class of Genetic Adaptive Systems. PhD thesis, University of Michigan, 1975.
    
15. 
    Ackley, D.: An Empirical Study of Bit Vector Function Optimization. Genetic Algorithms and Simulated Annealing, 170-215, 1987.
    
16. 
    Ratnaweera,A., Halgamure, S.K., and Watson, H.C. Self-Organizing Hierarchical Particle Swarm Optimizer with Time–Varying Acceleration Coefficients. Evolutionary Computation, IEEE Transactions, Vol.8, pp. 240-255, 2004.
    
17. 
    E.Eberhart and Y. Shi. Tracking and optimizing dynamic systems with particle swarms. In Proceedings of the IEEE Congress on Evolutionary Computation, pages 94-100, Piscataway, NJ, 2001.
    

Tablo 2: De Jong Fonksiyonu için Başarı Oranları

Qseviye	Temel-PSO	ZDAA-PSO	StZDAA-PSO
0.01	0	100	100
0.1	0	100	100
1	0	100	100
10	11	100	100

Tablo 4: Ackley Fonksiyonu için Başarı Oranları

Qseviye	Temel-PSO	ZDAA-PSO	StZDAA-PSO
0.01	0	59	14
0.1	0	59	14
1	0	59	14
10	20	69	17

Tablo 3: KHPSO algoritmalarının De Jong Fonksiyonu için başarı oranları

Lojistik Harita
Qseviye	KHPSO1	KHPSO2	KHPSO3	KHPSO4	KHPSO5	KHPSO6	KHPSO7	KHPSO8	KHPSO9	KHPSO 10	KHPSO 11	KHPSO 12
0.01	100	98	100	100	100	100	100	100	100	100	100	99
0.1	100	98	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
1	100	99	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
10	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
Sinüzoidal Yineleyici
Qseviye	KHPSO1	KHPSO2	KHPSO3	KHPSO4	KHPSO5	KHPSO6	KHPSO7	KHPSO8	KHPSO9	KHPSO 10	KHPSO 11	KHPSO 12
0.01	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
0.1	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
1	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
10	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
Gauss Haritası
Qseviye	KHPSO1	KHPSO2	KHPSO3	KHPSO4	KHPSO5	KHPSO6	KHPSO7	KHPSO8	KHPSO9	KHPSO 10	KHPSO 11	KHPSO 12
0.01	100	99	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
0.1	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
1	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
10	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
Zaslavskii Haritası
Qseviye	KHPSO1	KHPSO2	KHPSO3	KHPSO4	KHPSO5	KHPSO6	KHPSO7	KHPSO8	KHPSO9	KHPSO 10	KHPSO 11	KHPSO 12
0.01	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	99
0.1	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
1	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100
10	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100

Tablo 5: KHPSO algoritmalarının Ackley Fonksiyonu için başarı oranları

Lojistik Harita
Qseviye	KHPSO1	KHPSO2	KHPSO3	KHPSO4	KHPSO5	KHPSO6	KHPSO7	KHPSO8	KHPSO9	KHPSO 10	KHPSO 11	KHPSO 12
0.01	59	70	64	68	59	59	70	75	68	69	69	63
0.1	70	70	64	68	59	59	71	75	68	69	69	68
1	70	70	69	71	69	64	78	78	72	69	69	70
10	70	70	69	71	69	69	78	78	72	75	69	70
Sinüzoidal Yineleyici
Qseviye	KHPSO1	KHPSO2	KHPSO3	KHPSO4	KHPSO5	KHPSO6	KHPSO7	KHPSO8	KHPSO9	KHPSO 10	KHPSO 11	KHPSO 12
0.01	62	58	66	68	70	59	72	79	59	68	59	70
0.1	62	58	66	68	71	59	80	85	59	68	62	71
1	65	58	66	68	71	64	85	85	68	71	70	71
10	65	70	69	68	71	69	85	86	69	71	70	71
Gauss Haritası
Qseviye	KHPSO1	KHPSO2	KHPSO3	KHPSO4	KHPSO5	KHPSO6	KHPSO7	KHPSO8	KHPSO9	KHPSO 10	KHPSO 11	KHPSO 12
0.01	68	59	69	69	69	72	80	82	59	62	68	70
0.1	68	59	69	69	69	74	86	82	59	70	71	70
1	71	59	69	69	69	74	87	84	64	70	71	71
10	71	69	74	69	69	75	87	84	69	70	71	71
Zaslavskii Haritası
Qseviye	KHPSO1	KHPSO2	KHPSO3	KHPSO4	KHPSO5	KHPSO6	KHPSO7	KHPSO8	KHPSO9	KHPSO 10	KHPSO 11	KHPSO 12
0.01	72	70	72	62	60	75	81	79	59	59	59	58
0.1	74	71	72	65	69	75	81	79	63	70	61	68
1	74	71	72	75	74	79	90	83	70	70	64	68
10	76	71	77	75	75	79	94	88	70	70	69	70