Kirish asosiy qism

4-§. Erkli o‘zgaruvchilarning soni ikkita bo‘lgan xol.

Bu holda ham Dirixle va Neyman masalalarining yechimini ikkilangan va oddiy qatlam logarifmik potensiallari ko‘rinishida izlaymiz:

Bu yerda -yopiq Lyapunov egri chizig‘i. va zichliklarni uzluksiz funksiyalar deb faraz qilamiz. Ikkilangan qatlam logarifmik potensiali egri chiziqning ichida ham, tashqarisida ham garmonik funksiya bo‘lib, cheksizlikda ega bo‘ladi. Oddiy qatlam logarifmik potensiali ning ichida garmonik funksiya bo‘lib, ning tashqarisida, umuman aytganda, garmonik bo‘lmaydi. Ma’lumki, tekislikdagi cheksiz sohada garmonik bo‘lgan funksiya, cheksizlikda chegaralangan bo‘lishi kerak, oddiy qatlam logarifmik potensiali esa, umumiy holda cheksizlikda kabi usadi. Tekislikda Dirixle va Neymanning masalalarini tekshirganda, holdan farqli bo‘lgan tomonlariga to‘xtalamiz. Eng muhimi bo‘lganda masalaning ikkita yechimi bir-biridan o‘zgarmas son bilan farq qiladi. masalani tekshirayotgandagi yana bir xususiyat quyidagi lemma bilan aniqlanadi.
Lemma. Oddiy qatlam potensiali ushbu

shart bajarilgan holda va faqat u holdagina da nolga intiladi. Agar shart bajarilmasa formula bilan aniqlangan i(x) funksiya da moduli bo‘yicha cheksiz o‘sadi.
Haqiqatdan ham, tekislikda ixtiyoriy nuqtani olib, integralni quyidagicha yozib olamiz:

Bu yig`indida da ikkinchi qo‘shiluvchi nolga intiladi, birinchi qo‘shiluvchi esa

shart bajarilgan holda va faqat shu holdagina moduli bo‘yicha cheksiz o‘sadi. Bundan darxol lemmaning to‘g`riligi kelib chiqadi. Dirixle va Neyman masalalarini potensiallar yordamida yechishning chegaraviy shartlari va yuqoridagi formulalarga asosan quyidagi integral tenglamalarni yechishga keladi:

Bu integral tenglamalarning yadrolari Lyapu egri chizigi bo‘lganda kichik maxsuslikka ega bo‘ladi. integral tenglamalar, avvalo tenglamani qaraymiz. Bizga ma’lumki, masalaning yechimi cheksizlikda chegaralangan funksiyadir. ( tenglama yechimini (agar u mavjud bo‘lsa) zichlik qilib oddiy qatlam potensialini tuzsak, bu potensial cheksizlikda chegaralangan bo‘lgan holda va faqat shu holdagina u masalaning yechimidan iborat bo‘ladi. Yuqorida isbotlangan lemmaga asosan oddiy qatlam potensialining cheksizlikda chegaralangan bo‘lishi uchun

shartning bajarilishi zarur va yetarli. ( tenglamaning har ikki tomonini ga ko‘paytirib, bo‘yicha integrallaymiz:

Ikki karrali integralda integrallash tartibini o‘zgartiramiz, ya’ni va larning o‘rnini almashtiramiz, bunda normal ga almashadi:

formulaga asosan oldingi tenglikdagi figurali qavs ichidagi integralning qiymati ga teng. Buni e’tiborga olsak,

tenglik kelib chiqadi. Shunday qilib, (N) integral tenglama yechimi yordamida tuzilgan oddiy qatlamning cheksizlikda chegaralangan bo‘lishi uchun shartning bajarilishi zarur va yetarlidir. Lemmaga asosan, bu shart bajarilganda tuzilgan potensial cheksizlikda nolga intiladi.
Endi tenglamaning ixtiyoriy uzluksiz funksiya uchun yechimga ega ekanligini ko‘rsatamiz. Fredgolm alternativasiga binoan bir jinsli

tenglamani qaraymiz. funksiya bu tenglamaning biror yechimi bo‘lsin.
tenglamaning ozod hadi nolga teng bo‘lgani uchun shart bajariladi, demak,

potensial bir jinsli masalaning yechimidan iborat bo‘ladi. masala yechimining yagonaligiga asosan, dan tashqarida Oddiy qatlam potensiali barcha tekislikda uzluksiz bo‘lgani uchun da ham, masalaning yagonaligiga binoan ning ichida

formulaga asosan

Demak, tenglama noldan farqli yechimga ega emas. Bundan darxol, tenglamaning yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Bunga asosan, tenglama tenglamaga qo‘shma bo‘lgani uchun (D) tenglama ham ixtiyoriy uzluksiz funksiya uchun yagona yechimga ega bo‘ladi. va integral tenglamalarni tekshirish xuddi bo‘lgan holdagiday olib boriladi va o‘sha natijalar hosil kilinadi: shart masalaning yechimga ega bo‘lishining zarur va yetarli shartidir; masalaning bir jinsli integral tenglamasi faqat o‘zgarmas yechimga ega bo‘ladi. masalaning yechimini

Ko‘rinishda izlash mumkin. Bu esa, ushbu