Kirish asosiy qism

2-§. Chegaraviy masalalarni integral tenglamaga keltirish

Dirixlening ichki masalasini tekshiramiz. Chegaraviy shartga asosan:

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikda o‘rniga yana yozib, un i ga ko‘paytirib, noma’lum funksiyaga nisbatan ushbu

integral tenglamaga ega bo‘lamiz. Xuddi shunga o‘xshash,
chegaraviy shartlarga asosan boshqa uchta chegaraviy masala uchun integral tenglamalarni hosil qilamiz. Qulaylik uchun barcha tenglamalarni bir qator yozib olamiz:




tenglamalarda va formulalar bu tenglamalarning kichik maxsuslikka ega bo‘lgan integral tenglamalar ekanligini ko‘rsatadi. Bundan tashqari yadrolar haqiyqiy va biri ikkinchisidan va nuqtalarning o‘rnini almashtirish natijasida hosil bo‘ladi. Bundan (D) va (N), (D) va (N) tenglamalarning o‘zaro qo‘shma integral tenglamalar ekanligi kelib chiqadi. va integral tenglamalarni tekshirish. va (N) tenglamalar Dirixlening ichki va Neymanning tashqi masalalariga mos keladi. Bu tenglamalar ixtiyoriy va uzluksiz funksiyalar uchun yagona yechimga ega bo‘lishini ko‘rsatamiz. Shu maqsadda tenglamaga mos bo‘lgan ushbu bir jinsli tenglamani tekshiramiz. Faraz qilaylik, (1 01) tenglamaning noldan farqli bo‘lgan uzluksiz yechimi mavjud bo‘lsin. Bu yechim yordamida quyidagi oddiy qatlam potensialini tuzamiz:

Bu potensial tashqarisidan to‘g‘ri normal hosilaga ega va bu hosila formulaga asosan ushbu ko‘rinishga ega:
Bundan tenglamaga asosan, bu normal hosilaning nolga tengligi kelib chiqadi, ya’ni

Neyman tashqi masalasining yagonaligiga asosan

Oddiy qatlam potensiali barcha fazoda uzluksiz bo‘lgani uchun

Endi, potensialni sohada tekshiramiz. Bu sohada garmonik funksiya va da shartni qanoatlantiradi. masala yechimining yagonaligiga asosan

Ammo bu holda

formulaga asosan

Demak, , ya’ni bir jinsli integral tenglama faqat nolga teng yechimga ega. Fredgolm alternativasiga ko‘ra tashqi masalaning integral tenglamasi ixtiyoriy uzluksiz funksiya uchun birdan bir yechimga ega bo‘ladi.
Shunday qilib, parametrning qiymati yadro uchun harakteristik son emas. Fredgolmning teoremasiga asosan bu son qo‘shma yadro uchun ham harakteristik son bo‘lmaydi. Bundan darxol masalaning integral tenglamasi ixtiyoriy uzluksiz funksiya uchun yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Agar ьa masalalarning integral tenglamalari yechimga ega bo‘lsa, u holda masalalarning o‘zi ham yechimga ega bo‘ladi. Bundan quyidagi xulosa kelib chiqadi.

1. 
   Agar Lyapunov sirti bo‘lsa, u holda Dirixlening ichki masalasi bu sirt uchun ixtiyoriy uzluksiz chegaraviy shartlarda yechimga ega va bu yechim ikkilangan qatlam potensiali bilan ifodalanadi.
   
2. 
   Agar Lyapunov sirti bo‘lsa, Neymanning tashqi masalasi bu sirt uchun ixtiyoriy uzluksiz chegaraviy qiymatlar uchun yechimga ega va bu yechimni oddiy qatlam potensiali bilan ifodalash mumkin.
   
3. 
   integral tenglamalarni tekshirish. va integral tenglamalarga kirgan parametrning
   

qiymati yadrolarning har biri
uchun ham harakteristik son bo‘ladi. Xaqiqatdan ham, yuqoridagi formulaga asosan masalaning bir jinsli integral tenglamasi

noldan farqli yechimga ega. Bu esa son yadro uchun harakteristik son ekanligini ko‘rsatadi. Fredgolm teoremasiga asosan bu son qo‘shma yadro uchun ham harakteristik son bo‘ladi. u holda, masalaning bir jinsli integral tenglamasi

kamida bitta nodan farqli yechimga ega bo‘ladi. Endi tenglamalarning va yechimlari bilan chizig`i bog`liq bo‘lmagan noldan farqli yechimlarga ega emasligini ko‘rsatish qiyin emas. Yana Fredgolm teoremasiga asosan bunday xossaga tenglamaning ega ekanligini ko‘rsatish kifoyadir. Zichligi bo‘lgan oddiy qatlam potensialini tuzamiz.
Yuqoridagi formulaga asosan

funksiya sirt bilan chegaralangan sohada garmonik bo‘lganligi sababli, masala yechimining yagonaligi haqidagi teoremaga asosan

Shu bilan birga bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar bo‘lsa, bo‘ladi. Oddiy qatlam potensialining uzluksizligiga binoan, masala yechimining yagonaligiga asosan bo‘ladi. Bu holda

formulaga ko‘ra

bo‘lgani uchun va unga asosan Bu esa ning noldan farqli yechim ekanligiga qarama-qarshidir. Shunday qilib, Shu bilan birga yo‘l-yo‘lakay ushbu fikr ham isbotlandi.
Agar sirtning ichida oddiy qatlam potensiali nolga teng bo‘lsa, uning zichligi ham nolga teng bo‘ladi.
Endi, tenglama yana bitta yechimga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz. Ushbu

oddiy qatlam potensialini tekshiramiz. Yuqoridagi muloxazalarni qaytarib, bo‘lganda const natijaga kelamiz. quyidagi belgilashni kiritamiz:

Ravshanki, funksiya ham tenglamaning yechimi bo‘ladi. Ushbu

oddiy qatlam potensiali, bo‘lganda bo‘ladi. Avvalgi isbotlangan fikrga asosan
Shunday qilib, tenglamaning ixtiyoriy yechimi, yechimidan o‘zgarmas ko‘paytuvchi bilan farq qiladi. Endi, Neyman ichki masalasining bir jinsli bo‘lmagan (N) integral tenglamasini tekshiramiz. Bu tenglama Fredgolm alternativasiga asosan funksiya qo‘shma bir jinsli, ya’ni tenglamaning hamma yechimlariga ortogonal bo‘lgan holda va faqat shu holdagina yechimga ega bo‘ladi. Tenglama faqat bitta yechimga ega. Shunday qilib, ( tenglamaning yechimga ega bo‘lishi uchun

shartning bajarilishi zarur va yetarlidir. Agara tenglama yechimga ega bo‘lsa, Neymanning ichki masalasi ham yechimga ega bo‘ladi.
Demak, shart masalaning yechimga ega bo‘lishi uchun yetarlidir. Agar Lyapunov sirti bo‘lib, bo‘lsa, shart bajarilsa, Neyman ichki masalasining yechimi mavjud va bu yechimni oddiy qatlam potensiali bilan ifodalash mumkin .
Endi Dirixle tashqi masalasining (D) integral tenglamasini tekshirish qoldi . Bu integral tenglamaning yechimga ega bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti

tenglikning bajarilishidan iborat. Agar shart bajarilsa, tenglama yechimga ega bo‘ladi. U holda, ikkilangan qatlam potensiali bilan ifodalaniladigan, demak, cheksizlikda kabi kamayadigan masalaning yechimi mavjud bo‘ladi.
Bizga ma’lumki, masalaning yechimi mavjud bo‘lsa, u yagona edi. Lekin uning yechimga ega bo‘lishi uchun shart kelib chiqayapti. Buning asosiy sababi garmonik funksiyaning cheksizlikdagi tartibi bilgan holda biz yechimni tartibga ega bo‘lgan ikkilangan qatlam potensiali orqali ifodalaganimizdadir. Agara shart bajarilmasa, (D) tenglama yechimga ega bo‘lmaydi. Bundan Dirixlening tashqi masalasi yechimga ega emas degan xulosa kelib chiqmaydi. Faqatgina ikkilangan qatlam potensiali bilan ifodalanadigan yechim mavjud emas degan natija kelib chiqadi.

3-§. Dirixle tashqi masalasining yechilishi.

Koordinata boshini sirtning ichiga joylashtiramiz. funksiya koordinata boshini o‘z ichiga olmagan har qanday sohada garmonik bo‘ladi. masalaning yechimini

ko‘rinishda izlaymiz. har qanday uzluksiz funksiya bo‘lmasin formulaning o‘ng tomoni sohada garmonik funksiya bo‘ladi. funksiyani shunday tanlab olish kerakki, (24) chegaraviy shart bajarilsin. Bu shartni qanoatlantirib, noma’lum funksiya uchun quyidagi integral tenglamani hosil qilamiz:

(110) tenglamaning yadrosi yadro kabi
kichik maxsuslikka ega. Shuning uchun tenglamaga Fredgolm nazariyasini qo‘llash mumkin. Bu tenglamaga mos bir jinsli

tenglamani qaraymiz. funksiya tenglamaning biror uzluksiz yechimi bo‘lsin. sohada garmonik ushbu

funksiyani tuzamiz. tenglamaga asosan Dirixle tashqi masalasining yagonaligiga binoan

Cheksiz uzoqlashgan nuqtada ikkilangan qatlam potensiali kamayadi, shu sababli limitga o‘tganda birinchi qo‘shiluvchi nolga intiladi va

tenglikni hosil qilamiz. Shunday qilib, tenglamaning har qanday yechim munosabatni qanoatlantiradi. Bu holda tenglama soddalashadi va ushbu

ko‘rinishga keladi. Bu tenglama esa, masalaning bir jinsli integral tenglamasi bilan bir xildir. Tenglama avval isbotlaganimizga binoan, faqat bitta, birga teng yechimga egadir. U holda, uning umumiy yechimi bo‘ladi. Bu natijada yoki ni hosil qilamiz, ya’ni Demak, tenglama faqat nolga teng yechimga ega bo‘ladi. Fredgolm alternativasiga asosan, bir jinsli bo‘lmagan tenglama ixtiyoriy uzluksiz funksiya uchun yechimga ega. Shu bilan birga ixtiyoriy uzluksiz chegaraviy funksiya uchun Dirixlening tashqi masalasi yechimga ega va bu yechimni ko‘rinishda ifodalash mumkin.