Ko‘phadni maydon ustida keltirilmaydigan normallangan ko‘phadlar ko‘paytmasiga yoyish
Yüklə 68,71 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- BOB.Chekli maydon ustidagi ko‘phadlar. 1-§ Chekli maydon ustidagi ko‘phadlar va ularning ildizlari.
| 3-§ Keltirilmaydigan ko‘phadlar.
Keltirilmaydigan ko ‘ phadlar arifmetikasidagi tub sonlar vazifasini bajaradi. " 1- darajali ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phaddir 2 ta musbat darajali ko ‘ phadning darajasi ham doim >2 bu uning chiziqli ko ‘ paytuvchilarga yoyilmasi, xususan, keltirilmaydigan ko‘phadlarga yoyilmasidan iborat bo‘ladi. Bezu teoremasiga ko‘ra 0 ildizga ega bo‘lgan ko‘phad x- Л0 ga halqada +1 ko‘phad va umuman haqiqiy ildizga ega bo‘lmagan Q[ x halqada esa masalan, 2- darajali ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phaddir. X3 -2 ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phaddir, chunki uning yagona haqiqiy ildizi irritsional sondir. Shunday qilib, halqada faqat 1- darajali va haqiqiy ildizga ega bo‘lmagan 2- darajali ko‘phadlar keltirilmaydigandir halqada esa " darajali keltirilmaydigan ko‘phad mavjud. Tub sonlar cheksizligining isboti kabi " P maydon ustidagi normallashgan keltirilmaydigan ko ‘ phadlar to ‘ plamining cheksizligini ham isbotlash mumkin. Faraz qilaylik,bunday ko‘phadlar soni chekli bo‘lsin va ular •••P7bo‘lsin ^^lp2 •••p+i ko‘phadni qaraymiz. " musbat darajali ko‘phad qaysidir keltirilmaydigan ko‘phadga bo‘linishi kerak lekin ^ko‘phad PKPi.P. ko ‘ phadlarning hech biriga bo ‘ linmaydi.Demak f ko ‘ phad ham keltirilmaydigan ko ‘ phad ekan. Olingan qarama-qarshilik keltirilmaydigan ko ‘phadlar to‘plamining chekliligini inkor qiladi. BOB.Chekli maydon ustidagi ko‘phadlar. 1-§ Chekli maydon ustidagi ko‘phadlar va ularning ildizlari. Matematik analiz kursida ko‘phad tushunchasiga (yoki butun ratsional funksiya tushunchasiga) quyidagicha ta'rif beriladi. Ta'rifl: f funksiyani Agar haqiqiy ^o‘zgaruvchili (X) /(X) = a0 а x+ ах +... + ax (1) ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa u holda bu funksiyani x o‘zgaruvchili ^0’^1’^2’^’^nqandaydir haqiqiy sonlar (ulardan ko‘phad deyiladi, bu yerda ba'zilari va xatto hammasi ham nolga teng bo ‘lishi mumkin. nksiyalar ko‘phaddir /(л) = ((x-1) 2 + л)( x+ 1) - X2 qavslarni ochib o‘xshash hadlarni ixchamlagandan so‘ng bu funksiya j/X) = 1 - x2 + 2x2 ko‘rinishga keladi. Ko‘phadning hususiy holi bu ^ling barcha qiymatlarida bitta ^ qiymatniqabul qiluvchi /^x> = ^o‘zgarmas funksiyadir. Matematikada nafaqat haqiqiy koeffitsiyentli ko ‘ phadlar bilan balki koeffitsiyentlari boshqa maydon yoki halqalardan olingan ko ‘ phadlar bilan ish ko ‘ riladi. Bu holda ko ‘ phadni yuqoridagi kabi funksiya sifatida qarash hamma vaqt ham to‘g‘ri bo‘lavermaydi. ko‘phadlami teng deb hisoblashga to‘g‘ri keladi, chunki ^ ning barcha ^2 bo‘ladi. qiymatlarida = (^) .T(0) = f2(0) = o,.T(i) = f2(i) = 1 ? shuning uchun ham ko‘phad tushunchasining algebraik ma'nosi ochib beriladi. Bu holda koeffitsiyentlari " halqadan olingan ko‘phadlar qaraladi. Ta'rif:
a+- o^+ a;2^ +... + (2) Ko‘rinishdagi ifodaga aytiladi, bu yerda n- " nomanfiy butun son - Khalqaning elementlari. a0 , a1 , a2 , ^ , an Ko ‘ phad tushunchasining yuqorida keltirilgan algebrik va funksional ta'riflaridan ko‘rdikki Kbutunlik sohasi ustidagi har bir ko‘phad bilan Kda aniqlangan va Kdagi qiymatlarni qabul qiluvchi funksiya o ‘ rtasida tabiiy bog ‘lanish mavjud fXi = a+ ах+ ах +... + ax 0 12 n koeffitsiyentlari Kdan olingan ko‘phad bo‘lsin. " X0 ^ Kuchun , 2 . , n a x+ ax +... + ax fyX) = a0 (3) ifodaga ega bo‘lamiz. Bu ifodaning o‘ng tomoni K dagi amalning natijasidir. n 1 1 -1 1 Cl fX) f ko‘phadning X0 nuqtadagi Bu holda hosil bo lga^'^ ^ ^ K element (X) X qiymati deyiladi, shunday qilib Khalqaning ham bir elementiga xuddi shu qiymatga ega bo‘ladi; bo‘lganda Fermaning kichik teoremasiga ko‘ra x-1 = i0 bo‘ladi va demak ^ \ = x 0 0 0 0 bo‘ladi. Endi /{x) e ko‘phadda ^ling barcha darajalarini ularga ekvivalent bo‘lgan ko‘rsatkichlar --1 dan oshmagan darajalarga almashtirsak, u holda --1 dan oshmagan f ekvivalent ^0’{^) ko‘phad hosil bo‘ladi. darajasi {^) Masalan: 3 4 5 7 1— x— x — x — x + x e^3[j] ko‘phad 1— x— x— x — x+ x= 1+ x+ x ko‘phadga ekvivalent. //x) = 4x + x + 2x — x + 3x — x— 3 e ^Z[^x ko‘phadga ekvivalent bo‘lgan ko‘phadlar orasida eng kichik darajali ko‘phad bu 4x* + 1 + 2x^ — 1 + 3 — x— 3 = 3 + 2x^ + 4x’ — x— 3 ko‘phaddir. Chekli maydon ustidagi ko ‘ phadlar uchun ham yuqorida isbotlangan qoldiqli bo‘lish haqidagi teorema va uning natijasi {Bezu teoremasi) o‘rinli bo ‘ladi. Va demak ko‘phadning bir nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun Gorner sxemasidan foydalanish mumkin.
Г(0) = 2
^(3) = 3 У(4) = 1 Karrali ildizlar va ildizning karralisini chekli maydon ustidagi ko‘phadlar uchun ham Gorner sxemasidan foydalanib hisoblab topish mumkin. Masalan: + 2x‘^- 2 - 3x-1 e Jf[X{ = 2 ildizning karralisini aniqlaylik. Buning uchun А<.Л) ko‘phad uchun л- ko‘phadni . x-2 ga ketma ket bo‘lamiz.
ya'ni
/(л) = + 2x‘^- 2x^- 3x-1 = (x- 2) 4(x+ 5) ^Z\X] xo = 2 ildizning karralisi 4 ga teng ekan.
[x]
barcha ildizlari tub. Bu ildizning ko‘paytmasi (p-1)! sonning p modul bo‘yicha chegirmalaridan iborat bo‘ladi. Viet Chiqadi formulasiga ko‘ra esa u ptub son bo‘lsin. Ta'rif: p modul bo‘yicha algebraik a, + ajX+a,X^ +... + a^X = 0(mod p) taqqoslama deb (4) ko‘rinishdagi taqqoslamaga aytiladi. Bu yerda butun sonlarni qabul qiluvchi noma'lum son. a,,,a2,_,an_ butun sonlar x esa Taqqoslamaning umumiy xossalaridan quyidagilar kelib chiqadi. Agar (4) taqqoslamaning koeffitsiyentlari pmodul bo‘yicha ular bilan taqqoslanuvchi " butun sonlar bilan almashtirilsa u holda hosil bo ‘ lgan taqqoslama (4) taqqoslamaga ekvivalent bo‘ladi. Agar xo _(4) taqqoslamaning yechimi bo‘lsa u holda ^0bilanPmodul bo‘yicha taqqoslanuvchi " butun sonlar ham bu taqqoslamaning yechimi bo ‘ladi. Ta'rif: Agar (4) taqqoslamaning barcha koeffitsiyentlari a a a a pga bo‘linsa u holda (4) -trivial taqqoslama deb ataladi. Bu holda (4) taqqoslama x ning " qiymatlaridabajariladi. Trival bo‘lmagan algebrik taqqoslamalarni 1_xossadan foydalanib p ga bo‘linmaydigan ko‘rinishga keltirish mumkin. Buning uchun taqqoslamadagi koeffitsiyentlarip ga bo‘linadigan hadlarni (agar ular mavjud bo‘lsa) tashlab yuboriladi. Ta'rif: (4) taqqoslamada p ga bo‘linmasa u holda n soni bu taqqoslamaning darajasi deyiladi. " a butun son uchun a ni o‘z ichiga oluvchi pmodul bo‘yicha chegirmalar . ^ ^ ^ . n ) + aiX+ + ... + + a-iX+ а^х + ... + а_^х kelib chiqadi. ^«soni (4) taqqoslamaning yechimi bo‘ladi, faqat va faqat shu holdaki (5) Os +01 x+ а>х + ... + Orx _ 0 bo‘lsa (5) ga ko‘ra oxirgi tenglikni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: 00 +01 X+ 02 х + ... + OaX _ 0 bundan ko‘rinadiki x0 chegirmalar sinfi Zp ustidagi 00 + 01X+ 02 X + ... + ... + °-X _ 0 (6) algebrik tenglamaning yechimi bo‘ladi. Shunday qilib, p modul bo‘yicha algebrik taqqoslama algebraik tenglamadan faqatgina ^^maydon ustida aniqlanishi bilan farq qilar ekan. (4) taqqoslamaning yechimlar sinfi deb uning yechimidan tashkil topgan p modul bo ‘ yicha chegirma sinfiga aytiladi. Bu sinf (6) tenglamaning bitta yechimiga mos keladi ravshanki, (6) tenglamaning darajasi (4) taqqoslamaning darajasiga teng bo‘ladi. Teorema. Trival bo‘lmagan tub modul bo‘yicha algebraik taqqoslamaning yechimlar sinfining soni uning darajasidan katta emas. 2-tomondan, ravshanki, " algebrik taqqoslamaning yechimlari sinfining soni pdan katta bo‘la olmaydi. (pmodul bo‘yicha barcha chegirma sinflarining soni) Shuning uchun pbo‘lganda bu teorema hech narsani ifodalamaydi. Yuqorida biz ko‘rdikki, /(+) e Z„[X^ P- 1 jf(X) = tenglama ^(xo) = 0 tenglamaga ekvivalent bo‘ladi. Bu usuldan foydalanib " algebraik taqqoslamani o‘ziga ekvivalent bo‘lgan darajasi dan oshmagan taqqoslamaga almashtirish mumkin. Masalan: Л7 - x5 + x" +x* - x- 1 x= 0(mod3) ^-1 taqqoslama x2 + x+ 1 = 0(mod 3) taqqoslamaga ekvivalentdir. Chekli maydon ustidagi algebrik tenglamalarni (hech bo ‘ lmaganda, prinsipga ko ‘ ra) maydonning barcha elementlarini noma'lum o ‘ rniga navbat bilan qo ‘ yib ko ‘ rish orqali yechish mumkin. Shuning uchun algebraik taqqoslamalarni ham xuddi shu yul bilan yechish mumkin bo‘ladi. Masalan: 8л9 - 17л8 + 31л6 + 12л6 - 7x^ + 2x+ 11 = 0(mod 5) Taqqoslamani yechaylik. Buning uchun unga mos algebraik tenglamani hosil qilamiz: ^5 maydon ustidagi 3 x® + 3 x’ + 1 x6 + 2 x" + 3 X4 + 2 x+ 1 = 0 Qulaylik uchun chegirma sinfni ifodalovchi chiziqlarni yozmaslikka kelishamiz. Hosil bo ‘ lgan tenglamaning chap tomonini o ‘ ziga ekvivalent bo ‘lgan ko‘phad bilan almashtirsak. 3x+ 3x"3 4 + x2 + 2x+ 3x"4 + 2x+ 1 = x"4 + x^ + 2x+ 1 quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz. x4 + x2 + 2x+1 = 0
Demak, tenglamaning yechimi 2 ta 1 va 2 u holda yuqoridagi taqqoslamaning yechimi 5 ^+1 va 5 ^+2 sonlari bo‘ladi.
+ 10л^' + 10л^° + 100^=0 (mod11) taqqoslamani yechamiz. Bu taqqoslamaga mos maydon ustidagi tenglamani yozamiz. Л100 - Л51 - Л10 + 0 bu tenglamaning chap tomoni - x- + x- 0 yuqoridagi tenglama ko‘phadga ekvivalent, demak 0 = 0 -trivial tenglamaga ekvivalent. Uning yechimi ^T1 maydonning barcha elementlaridan iborat bo‘ladi, berilgan taqqoslamaning yechimi esa barcha butun sonlardan iborat. Yüklə 68,71 Kb. Dostları ilə paylaş:
|