Ko‘phadni maydon ustida keltirilmaydigan normallangan ko‘phadlar ko‘paytmasiga yoyish

2-§ Z5 maydon ustidagi keltirilmaydigan ko‘phadlar
1-bobda ko‘phadlar halqasida qoldiqli bo‘lish haqida yevklid algoritmi,
halqaning
ideal ko‘phadlarning EKUBi kabi tushunchalar yortiladi. Ya'ni
yevklid halqasi ekanligi, uning bosh ideallar halqasi ekanligini ko‘rsatadi.
Endi p-chekli maydon bo‘lgan holni qaraymiz halqadagi har bir
ko‘phadga u orqali aniqlanuvchi funksiyani mos qo‘yuvchi gomomorfizmning yadrosini 1 bilan belgilaymiz. U halqaning ideali bo‘ladi. Bu ideal barcha nol funksiyalar orqali aniqlanuvchi ko‘phadlardan ya'ni nol ko‘phadga ekvivalent bo‘lgan barcha xP-xe ^)o‘ladi.
ko‘phadlardan tuzilgan. Fermaning kichik teoremasiga ko‘ra,
xP- ko‘phadning
Shuning uchun 1 idealning tashkil etuvchi ko‘phadi x
bo‘luvchisi bo‘ladi. 2-tomondan 1 ideal darajasi pdan kichik bo‘lmagan noldan farqli ko‘phadni o‘z ichiga olmaydi. Demak,
1= (x^-Л)
bo‘ladi.
f g z

ta ^ e p ko‘phadlar ekvivalenti bo‘ladi, faqat va faqat shu [^]

holdaki qachonki
f 1 bo‘lsa, ya'ni f-g
ga bo‘linsa. Hususiy
X holda har bir fco‘phad x
ga bo‘lganda hosil bo‘lgan qoldiqqa ekvivalent
bo‘ladi. Bu qoldiq f
0 ^(^Q)-ya'ni fT
ya'ni fto‘phadning Qnuqtadagi qiymatiga teng
bo ‘ ladi. maydon ustidagi f va g ko ‘ phadlarning EKUBini ham yevklid algoritmi yordamida topish mumkin. Bunda barcha hisoblashlar z p - maydonda, ya'ni pmodul bo‘yicha chegirmalar maydonida bajariladi.
Masalan:
Z3 [^X

halqada
g ^ 4 3 , 1

f = X + X — X + X—1
va g= X3 — X2 + X— 1 ko‘phadlarning
EKUBini topaylik, buning uchun fnigga qoldiqli bo‘lamiz:
x3 — x2 + X—1
X" + X4 — X" + X—1
X' - x2 + x-1

X3 + X
2 1

X -1
2
X -1

0
2

- X -1 -x+1

qoldiq nolga teng demak EKUB ( f,g) = - x^-l yoki

X+1 e ^3 [^x bo‘ladi. EKUB (f,g) ning chiziqli ifodasini ham topish mumkin.
X' + X - X + x-1 = (x - X + x-1)(X + 2x) + (-X -1)(X’ - X + x-1) = (-X -1)(-x+1 Bu 1-tenglikdan
- X^ + 1 = 2x^ -1 = (x^ + x”* - X^ + x-1)(x^ + 2X)
( X.g) = f-g,x^ + 2X) bo‘ladi.
1- Bobda keltirilmaydigan ko‘phadlar haqida fikr yuritib halqada faqat 1- darajali ko‘phadlar va haqiqiy ildizlarga ega bo‘lmagan
ko‘phadlar keltirilmaydigan ko‘phadlar ekani
Q[Xi halqada " darajali
keltirilmaydigan ko‘phad mavjud ekani aytib o‘tilgan edi.
Agar ^chekli maydon bo‘lsa u holda " n uchun darajasi n dan oshmagan koeffitsiyentlari^ dan olingan ko‘phadlar soni chekli bo‘ladi. Shuning uchun darajasi " berilgan darajadan oshmagan keltirilmaydigan ko‘phadlar berilgan sondan katta bo‘lmagan tub sonlarni topish kabi topish mumkin.
Masalan:
x halqadagi darajasi 4 dan oshmagan barcha keltirilmaydigan
^3 [^j ifodalaydi. Biz bilamizki 2- va 3-darajali ko‘phadlar uchun ildizning mavjud emasligi ularning keltirilmaydigan ko‘phad ekanini ta'minlaydi. Shunday qilib
2- va 3- darajali ko‘phadlar orasida
x2 + x+ 1, X3 + X2 + 1, X3 + x+ 1
lar keltirilmaydigan ko ‘ phadlardir. Bundan yuqori darajali ko‘phadlar ildizga ega bo‘lmay turib keltiriladigan ko‘phad bo‘lishi mumkin. Bu holda ularning barcha keltirilmaydigan ko ‘ paytuvchilarining darajalari 1 dan yuqori bo‘ladi. Xususan 4- darajali ko‘phadlar ichida ildizga ega bo‘lmay keltiriladigan ko‘phad faqat bitta u ham bo‘lsa 2- darajali keltirilmaydigan ko‘phadlarning kvadratidan iborat. Bu ko‘phad
(x^ + x+ 1)2 = x" + x2 + 1
Qolgan 3 ta ko‘phad
x”* + x2 + x2 + x+ 1, x”* + x2 + 1, x”* + x2 + 1, x”* + x+ 1
keltirilmaydigan ko‘phadlard
5-darajali ko‘phadlar ichida 2 tasi ildizga ega bo‘lmagan keltirilmaydigan ko ‘ phadlardir, ular 2-darajali keltirilmaydigan ko ‘ phad bilan 3-darajali keltirilmaydigan ko‘phadlardan birining ko‘paytmasiga yoyiladi.

XULOSA
Maydon ustidagi bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar halqasi algebraning eng ko ‘ p o ‘ rganiladigan, eng ko ‘ p tatbiq qilinadigan va boshqa matematik fanlar: matematik tahlil, analitik geometriya kabi fanlar bilan ko‘p jihatdan bog‘liq bo ‘ lgan sohalaridan biridir. Biroq, maydon ustidagi bir o ‘ zgaruvchili ko ‘ phadlar qaralganda, ko ‘ pincha, sonli maydonlar, ya'ni cheksiz maydonlar ustidagi ko ‘phadlar bilan chegaralanadi. Vaholanki, alohida e'tiborga molik bo‘lgan chekli maydonlar ham mavjud va ko ‘ phadlar bunday maydonlar ustida aniqlanganda, ular o ‘ zlarini anchagina boshqacha tutadilar. Cheksiz maydon ustidagi bir o ‘zgaruvchili ko‘phadlar uchun taalluqli bo‘lgan xususiyatlar maydon chekli bo ‘ lganda, boshqacha tusga kiradi. Shu bois ham ko ‘ phadlarning bu ikki tur maydon xususiyatlariga ko‘ra o‘ziga xosliklarini o‘rganish, solishtirish va tahlil qilish juda ham qiziqarli va mazmunli ishdir.
Kurs ishida chekli maydon ustidagi ko‘phadlar bilan bog‘liq tushunchalar, xossalar va teoremalar keltirilib, Z5 maydon ustidagi kichik darajali keltiriladigan va keltirilmaydigan ko ‘ phadlar cheksiz maydon ustidagi xuddi shunday ko ‘ phadlar bilan qiyosiy tahlil qilgan holda o ‘ rganildi va misollar yordamida bayon qilindi. Z5 maydon ustidagi 1-darajali va 2-darajali keltirilmaydigan ko‘phadlarning soni hisoblab chiqarildi va ularga aniq misollar ko‘rsatildi.