Korrelyatsion-regression tahlil elementlari. Korrelyatsiya tushunchasining kelib chiqish tarixi va xossalari

5. Ko’p omilli korrelyatsion-regression tahlil asoslari
Ko’p omilli regressiyaning chiziqli tenglamasi umumiy ko’rinishda quyidagicha yoziladi:
. (8.31)
Bu yerda:
- natijaviy belgining o’zgaruvchan o’rtacha miqdori bo’lib, uning indekslari regressiya tenglamasiga kiritilgan omillarning tartib sonlarini ko’rsatadi;
a₀ - ozod had;
a_j - regressiya koeffitsiyentlari.
Ko’p omilli regressiya tenglamasining parametrlari «eng kichik kvadratlar» usuliga asoslanib hosil qilinadigan ushbu normal tenglamalar sistemasining yechimidir:
(8.32)
Normal tenglamalar tizimi chiziqli algebraning biror usulini qo’llab yechiladi va noma’lum hadlar topiladi. yechishni SHEHMda bajarish uchun maxsus «Microstat», «Statgraphics» kabi amaliy dasturlar paketi yaratilgan.

Xususiy regressiya koeffitsiyenti muayyan omilning natijaviy belgi variatsiyasiga ta’sirini omillar o’zaro bog’lanishidan «tozalangan» holda o’lchaydi, ammo tengla-maga kiritilmagan omillar bundan mustasnodir.
Ta’kidlab o’tish kerakki, xususiy regressiya koeffitsiyenti , juft regressiya koeffitsiyentidan farqli o’laroq, muayyan omilning natijaga ta’sirini uning variatsiyasi bilan boshqa tenglamada qatnashayotgan omillar variatsiyasi orasidagi bog’lanishni hisobga olmagan holda, undan «tozalangan» tarzda o’lchaydi.
Xususiy regressiya koeffitsiyentlari a_j nomli miqdorlardir, ular turli o’lchov birliklarda ifodalanadi va sifat (ma’no) jihatidan har xil omillar ta’sirini o’lchaydi. Demak, ular bir biri bilan taqqoslama emas.

SHuning uchun standartlashtirilgan xususiy regressiya koeffitsiyentlari yoki b - koeffitsiyentlar hisoblanadi:

(8.36)

b standartlashgan regressiya ko’rsatkich-lari taqqoslama nisbiy meyorlar, ularda o’lchov bir-liklari va belgilar mohiyati mavhum-lashgandir.
x_j omilga tegishli b_j – koeffitsiyent muayyan omil variatsiyasining natijaviy belgi U variatsiyasiga ta’sirini regressiya tenglamada ko’zlangan boshqa omillar variatsiyasidan chetlangan (tozalangan) holda o’lchovchi nisbiy me’yor hisoblanadi. natijada ko’p o’lchovli regressiya tenlamasi quyidagi shaklni oladi:

. (8.37)

Agar natijaviy belgi va omillar qiymatlarini standartlashgan masshtabda olsak:

(8.39)
O’z-o’zidan ravshanki, mazkur tenglamaning b_j - koeffitsiyentlarini aniqlash uchun quyidagi normal tenglamalar tizimini yechish kerak:

Ko’p o’lchovli b - regressiya tenglamasi koeffitsiyentlarini natural qiymatlarga (a_j) keltirish uchun (10.39) formuladagi standartlashtirilgan regressiya koeffitsiyentlaridan ularning natural qiymatlari (a_j) ni quyidagiifodalarga asoslanib hisoblash kerak.

Xususiy regressiya koeffitsiyentlari bilan elastiklik koeffitsiyentlari o’rtasida quyidagi o’zaro nisbat mavjud.

Ma’lumki, elastiklik koeffitsenti
(8.40)
ifodaga teng. Agar (8.36) dan a_j aniqlab, (8.40)ga qo’ysak (8.41). Bu yerda -natijaviy belgi variatsiya koeffitsiyenti, - omil variatsiya koeffitsiyenti yoki .
Ko’p omilli regressiya tenglamasini baholash natijaviy belgi (u) bilan omillar (x₁, x₂, ....., x_k) o’rtasidagi korrelyatsion bog’lanishning kuchini o’lchash va tenglamaga kiritilgan barcha omillarning mohiyatli yoki mohiyatsizligini aniqlashdan iborat. Korrelyatsion bog’lanishning kuchini o’lchashda natijaviy belgining umumiy omilli va qoldiq dispersiyalaridan foydalaniladi.
- omillar dispersiyasi.
- qoldiq dispersiya;
- umumiy dispersiya.
Dispersiya s ishoralaridagi nol «0» indeksi natijaviy belgini anglatadi (ya’ni u).
1,2,...,k q j - har bir o’rganilayotgan (tenglamaga kiritilgan) omilning tartib soni. Demak, omillar dispersiyasi. qoldiq dispersiya nishonidagi qavs «uning ichida sanab o’tilgan omillardan tashqari» degan ma’noni bildiradi va qoldiq dispersiyani omillar dispersiyasidan farq qilish uchun ishlatiladi.
Regressiya tenglamasi korrelyatsion bog’lanishni yaxshi ifoda etsa, natijaviy belgining haqiqiy va nazariy qiymatlari () o’rtasidagi tafovutlar kam, ya’ni qoldiq dispersiya kichik bo’lib, omillar dispersiyasi umumiy dispersiyaga yaqinlashadi. SHuning uchun bu dispersiyaning umumiy dispersiyadagi salmog’i
(8.42)
korrelyatsion bog’lanish kuchini xarakterlaydi. Mazkur nisbat ko’po’lchovli (omilli) determinatsiya koeffitsiyent deb ataladi.
Ko’p o’lchovli determinatsiya koeffitsiyentini kvadrat ildiz ostidan chiqarish natijasida ko’pomilli korrelyatsiya koeffitsiyenti hosil bo’ladi, u o’rganilayotgan omillar bilan natijaviy belgi orasidagi bog’lanishning zichlik darajasini ifodalaydi:
. (8.43)
x_k omilning xususiy determinatsiya koeffitsiyenti.
(8.48)



Xususiy determinatsiya koeffitsiyenti yangi x_k omil ko’p o’lchovli regressiya tenglamasiga kiritilgandan so’ng uning natijaviy belgiga ta’sirini o’lchovchi shartli sof dispersiyaning shun
gacha shakllangan qoldiq dispersiyadagi hissasini o’lchaydi.
Xususiy determinatsiya koeffitsiyentini kvadrat ildiz ostidan chiqarish natijasida xususiy korrelyatsiya koeffitsiyenti hosil bo’ladi:


(8.49)
Barcha kuzatilayotgan omillarni hisobga oluvchi tenglama uchun ko’p o’lchovli determinatsiya koeffitsiyenti:
.
Bunda ko’p o’lchovli korrelyatsiya koeffitsiyenti

YUqorida ko’p o’lchovli regressiya tenglamasini baholash bilan bog’liq bo’lgan birinchi masala-determinatsiya va korrelyatsiya koeffitsiyentlarini aniqlash usullarini ko’rib chiqdik. Bunday baholashning ikkinchi masalasi regressiya tenglamalarini yechish natijalari va korrelyatsiya koeffitsiyentlarini ehtimollik jihatdan muhimligi, ishonchliligini aniqlashdan iborat. Bu masala juft regressiya tenglamasi va korrelyatsiya koeffitsiyentlarini baholashdagi usullar (8.6-bo’lim) yordamida ya’ni t-Styudent va F-Fisher mezonlaridan foydalanib yechiladi.
(8.51)
bu yerda k-omillar tartib raqami, n-to’plam hajmi, k-omillar soni, r_0j-har bir omilning juft korrelyatsiya koeffitsiyenti, «0»-natijaviy belgi indeksi (nishoni) c_jj-normal tenglamalar tizimidagi koeffitsiyentlardan tuzilgan matritsaga B=(b_ej)teskari bo’lgan matritsaning V^-1=(S_ej) diagonal elementi.
Ko’p o’lchovli korrelyatsiya koeffitsiyentining o’rtacha xatosi quyidagi formula bo’yicha aniqlanadi:
(8.54)
Uning muhimligini aniqlash uchun St’yudent t-mezonining haqiqiy qiymati hisoblanadi va t-taqsimotning jadvalidagi kritik qiymati bilan taqqoslanadi.
Ko’p o’lchovli korrelyatsiya koeffitsiyenti uchun t-mezon bu koeffitsiyentning haqiqiy qiymatini uning o’rtacha hatosiga bo’lishi hosilasidir.
. (8.55)
Agar mazkur korrelyatsiya koeffitsiyentining qiymati birga yaqin bo’lsa, uning baholari taqsimoti normal yoki St’yudent taqsimotidan farq qiladi, chunki u bir soni bilan chegaralangan. Bunday hollarda korrelyatsiya koeffitsiyentlarining muhimligi g’-Fisher mezoni bilan baholanadi:
. (8.56)
Bu yerda k - omillar soni, K q m-1 m – regressiya tenglamasidagi hadlar soni.