Koshi teoremalari. Lopital qoidasi

Lopital qoidasi.

Bajardi: 22.04 guruh talabalari VALIYEVA SADOQAT,RUSTAMOVA ODINA

Reja:

• Aniqmasliklarni ochish. Lapital qoidasi
• Teylor formulasi.
• Ba’zi bir elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi.

Darsning maqsadi va tayanch tushunchalar

• Darsning maqsadi : Lopital qoidasi va ularning tadbiqini talabalarga tushuntirish.
• Tayanch tushunchalar:

1) Lopital qoidasi.

2) Teylur formulasi.

3)Makloren formulasi.

Tarixiy ma’lumot

• Gil’om Fransua de Lopital (1661-1704) – farang matematigi, u ham Leybnits maktabining vakili, teksda keltirilgan kitob differentsial hisobning dastlabki kursi hisoblanadi.
• Jozef-Lui Lagranj (1736-1813)- mashxur farang matematigi va mexanigi.

Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari

• Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda , , 0, -, 1, 00, 0
• ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarining bayoni bilan shug‘ullanamiz.

ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, x0 da f(x)0 va g(x)0 bo‘lsa, nisbat

ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Ko‘pincha xa da nisbatning limitini topishga

Qaraganda ni limitini topish oson

1-teorema. Agar

• 1-teorema. Agar

1)f(x) va g(x) funksiyalar (a-;a)(a;a+), bu yerda >0, to‘plamda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy x uchun g(x)0, g’(x)0;

2)

3) hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz)

mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining

limiti mavjud va

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

=
(1)
=
(1)

Misol. Ushbu limitni hisoblang

• Misol. Ushbu limitni hisoblang

Yechish. Bu holda bo‘lib, ular uchun 1- teoremaning barcha shartlari bajariladi.

Haqiqatan ham,

• ,
• .
• bo‘ladi

Demak, 1-teoremaga binoan

2-teorema. Agar [c;+) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo‘lib,

• 2-teorema. Agar [c;+) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo‘lib,
• (c;+) da chekli f’(x) va g’(x) hosilalar mavjud va g’(x)0,
• .
• hosilalar nisbatining limiti ( chekli

yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar

nisbatining limiti mavjud va

=
(3)

2-teorema ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar

• 2-teorema ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar

xa da f(x), g(x) bo‘lsa, nisbat

ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Endi bunday aniqmaslikni ochishda ham f(x) va g(x) funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan teoremani keltiramiz.

• 3-teorema. Agar
• f(x) va g(x) funksiyalar (a;) nurda

differensiallanuvchi, hamda g’(x)0,

2)

mavjud bo‘lsa, u holda

• mavjud bo‘lsa, u holda

mavjud va bo’ladi

Misol. Ushbu limitni hisoblang

Yechish. f(x)=lnx, g(x)=x funksiyalar uchun 3-teorema shartlarini tekshiramiz: 1) bu funksiyalar (0,+) da differensiallanuvchi; 2) f’(x)=1/x g’(x)=1; 3)

ya’ni mavjud. Demak, izlanayotgan limit ham

mavjud va tenglik o‘rinli

=

Mustaqil yechish uchun misol va masalalar

1) lim 1-cosx ni hisoblang

x 0 tgx

2) lim arctg2x ni hisoblang

x 0 arcsin5x

3) lim x+lnx ni hisoblang

x 0 x

4) lim tgx-x ni hisoblang

x 0 x-sinx

E’TIBORINGIZ UCHUN RAXMAT !!!