Kramer qoidasi. Matritsa usuli. Teskari matritsa

Misol.
1) (x=-1; u=2), 2) , (x=1;y=-2; z=-1).
Agar uch noma’lumli bir jinsli ikkita tenglamalar sistemasi

berilgan bo’lib,
₁= , ₂= _, ₃=
determinantning loaqal bittasi noldan farqli bo’lsa, u holda sistemaning barcha yechimlari
x=₁t, y=₂t, z=₃t
formula bilan aniqlanadi. (t – ixtiyoriy son).

Bu sistemada 0 bo’lsa, x=0, u=0, z=0 lar sistemaning yagona yechimi bo’ladi.
Agar ∆=0 bo’lsa, cheksiz ko’p yechimi bo’ladi.¹
Misol.
1) (x=3t; u=4t;z=11t),
2) (x=2t;y=-3t; z=5t).
Ikki nomalumli tenglamalar sistemasini grafik usulda yechish uchun ularning grafiklari ya’ni to`g`ri chiziqlar tekislikka chiziladi va kesishish nuqtalari tenglamaning ildizi bo`ladi.

1-ta'rif. kvadrat matritsaga teskari matritsa deb, shunday matritsaga aytiladiki, uning uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘lsin.
2-ta'rif. Agar matritsa uchun bo‘lsa, bunday matritsa xos bo‘lmagan matritsa, aks holda, ya'ni bo‘lsa xos matritsa deyiladi.
2-teorema. kvadratik matritsaga teskari matritsa mavjud va yagona bo‘lishi uchun, uning xos bo‘lmagan matritsa bo‘lishi zarur va yetarlidir.
3-ta'rif. matritsaning rangi deb uning noldan farqli minorlariningengyuqori tartibigaaytilib, orqali belgilanadi.
Ta'rifdan, agar vaA matritsao‘lchami bo‘lsa, u holda bo‘lar ekan.¹
4-ta'rif. Matritsa ustidagi elementar almashtirishlar deb quyidagi almashtirishlarga aytiladi:

1. 
   Barcha elementlari noldan iborat satrni (ustunni) tashlab yuborish.
   
2. 
   Satrning (ustunning) barcha elementlarini noldan farqli songako‘paytirish.
   
3. 
   Satr (ustun) o'rinlarinialmashtirish.
   
4. 
   Berilgan satr (ustun) elementlariga boshqa satr (ustun) elementlarini biron songa ko‘paytirib qo‘shish.
   
5. 
   Matritsani transponirlash
   

.3-teorema.Matritsa rangiuningustida elementar almashtirishlarni bajarish natijasidao‘zgarmaydi.
Bu teorema isboti yuqorida keltirilgan determinantlar xossalaridan kelib chiqadi. Xuddi shuningdek matritsa rangi uchun quyidagi xossalar o‘rinli ekanligini ko‘rsatish mumkin:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   Agar va lar kvadrat matritsalarbo‘lib, bo‘lsa, u holda bo ‘ladi.
   

Endi ixtiyoriy tartibli determinant tushunchasini kiritishimiz mumkin.
Ushbu

ifoda - tartibli determinant deyiladi.

Avvalgi xossadan foydalanib natijani isbotlash uchun elementni chap yuqori burchakka, ya’ni ning o‘rniga olib kelish kerak, ammo bunda qolgan satr va ustunlarning tartibini saqlab qolish zarur. Buning uchun -satrini ketma-ket bir pog‘ona yuqorisidagi satr bilan almashtirish zarur. Bu amal marta bajariladi, demak, xossaga ko‘ra, determinantning ishorasi (–1) songa ko‘payadi. Xuddi shunday - ustunni marta almashtirib, maqsadga erishamiz. Natijada ishora songa ko‘payadi.¹

Yuqorida kiritilgan determinant minor, son esa elementning algebraik to‘ldiruvchisi deb ataladi.
Keltirilgan natija va xossa determinantni biror satri yoki ustuni bo‘yicha -tartibli determinantlar yig‘indisiga yoyishga imkon beradi:
.
Masalan, determinantni 3-ustuni bo‘yicha yoysak:

.

Yuqoridagi formulani asoslash uchun misol ko‘raylik.¹
.
xossaga va natijaga ko‘ra:


.
Shu mulohaza umumiy holda ham o‘rinli:

Bu formuladan teskarisiga ham foydalanish mumkin, ya’ni qandaydir sonlar bo‘lsa,

tenglik o‘rinli. Xuddi shunday yig‘indini determinantda -ustunni o‘chirib, o‘rniga sonlarni yozib chiqishdan hosil bo‘lgan determinantga teng.¹
Agar ,  yig‘indini ham shunday determinant ko‘rinishida ikkita bir xil i- va - ustunlar hosil bo‘ladi. Demak, xossagako‘rabundayyig‘indinolgateng, ya’ni
, agar .
Bajarilgan tayyorgarlik ishlarimizdan so‘ng, asosiy masalamiz:

tenglamalar sistemasini yechishga qaytamiz.
Buning uchun
; ;
; …; 
belgilashlar kiritib, deb hisoblaymiz.¹
Endi sistemaning 1-tenglamasini songa, 2-tenglamasini songa, 3-tenglamasini songa va hokazo, oxirgi tenglamasini songa ko‘paytirib, barcha tengliklarni qo‘shib chiqamiz. Natijada
.
Determinantning xossalariga ko‘ra va , hamda .
Demak, , bundan esa kelib chiqadi.
tenglikni keltirib chiqarishni o’quvchiga havola qilamiz . hosil bo‘lgan:
, , …,
formulalar Kramer formulalari deyiladi.
 Maslan,

sistemada bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega:
; ; .
Shunday qilib, holda Kramer formulalari sistemaning yechimini ifodalaydi.
Agar , ammo sonlardan birortasi noldan farqli bo‘lsa, sistemaning yechimi yo‘q, ya’ni chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda emas.
Nihoyat, holda tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, Kramer formulalari ma’noga ega emas.