Kurs ishi mavzu: Sodda konform akslantirishlar Topshirdi: Abdiqodirov B. Qabul qildi: Axmedov I. Reja

Darajali funksiya
Ushbu
(16)
Ko`rinishdagi funksiya darjali funksiya (akslantirish) deyiladi, bunda n-natural son.
Bu funksiya butun kompleks tekislik da aniqlangan bo`lib, uning hosilasi

ga teng.
Demak, (16) funksiya butun tekislik ga golomorf, va bo`lganda uning yordamida bajariladigan akislantirish to`plamning har bir nuqtasida konform akislantirish bo`ladi.
va tekisliklarda qutb koordinatalarini kiritamiz:


Natijada (16) akslantirish ushbu

ko`rinishga ega bo`ladi. Undan esa,

bo`lishi kelib chiqadi.
Demak ,

akslantirish qutb koordinatalar sistemasida ushbu
(17)
akslantirishga o`tadi. Binobarin, (16) akslantirishni o`rganish (17) akslantirishni o`rganishga keladi.
(17) akslantirish topamiz:
1) bo`lganda bo`ladi. Demak, (16) akslantirish tekislikdagi markazi nuqtada bo`lgan aylanalarni tekislikdagi markazi nuqtada bo`lgan aylanalarga akslantiradi (5-chizma)

5-chizma
2) bo`lganda bo`ladi. Demak, (16) akslantirish tekislikdagi nuqtadan chiqqan nurlarni, tekislikdagi nuqtadan chiqqan nurlarga akslantiradi (5-chizma).
Ayni paytda (16) akslantirish nurni (haqiqiy musbat yo`nalish bo`yicha olingan nurni), nurga, tekislikdagi nurni esa, tekislikdagi nurga akslantiradi (5-chizma).
Yuqorida keltirilgan tasdiqlardan

akslantirish tekislikdagi

sohani (uchi nuqtada bo`lgan burchakni-sektorini ) tekislikdagi

sohaga (uchi nuqtada bo`lgan burchakka-sektorga) akslantirish kelib chiqadi.
Darajali funksiya yordamida bajariladigan akslantirishda nuqtada burchak marta oshganligi sababli nuqtada akslantirish ( ) konform bo`lmaydi.
Hususan,

Akslantirish yordamida tekislikdagi
(18)
soha (burchak-sektor), tekislikdagi
(19)
sohaga (yuqori yarim tekislikka) o`tadi (6-chizma).

6-chizma
Demak, funksiya (18) sohani (19) sohaga konform akislantiradi.
Endi tekislikda ushbu
(20)
Sohani (uchi nuqtada, tomonlari nurlardan iborat burchakni-sektorini ) olamiz (7-chizma ).

7-chizma
Ravshanki,

funksiya yordamida bu soha tekislikdagi
(21)
Sohaga akislanadi.
Misol. 1. Ushbu

Darajali funksiya yordamida tekislikdagi

to`plamning tekislikdagi aksini toping.
Berilgan to`plamni

deb,

bo`lishini topamiz.