|
Kwadratura koła Grzegorz Karwasz
|
tarix | 01.08.2018 | ölçüsü | 2,65 Mb. | | #60385 |
|
Kwadratura koła
Wykład, wygłoszony 14 marca dla grupy ok. 100 uczniów ze szkół toruńskich (6-7-8ºklasa szkoły podstawowej) pokazuje, że matematyka nie jest jedynie nauką abstrakcyjną, opartą o zestaw aksjomatów. (Zresztą w takiej aksjomatycznej postaci, jak to pokazał Gödel, musi być albo niekompletna, albo wewnętrznie sprzeczna). Matematyka rozwinęła się bardzo, bardzo dawno temu (pierwszy zapis liczenia po 28 dni pochodzi sprzed 40 tys. lat) jako nauka służąca celom praktycznym – wymierzania poletek wokół Nilu i budowania zigurratów w Mezopotamii. Umiejętności matematyczne kilka tysięcy lat temu były znaczne – dodawania ułamków (zapewne jako wycinki kół rysowanych patykiem na piasku), obliczania objętości piramid, przeliczania receptur produkcji piwa itd.
Komentarz dydaktyczny Wykład jest trudny, jako że nie ogranicza się do typowych przy tych okazjach dywagacjach na temat „magicznych” własności liczby pi, ale prowadzi do argumentów bardzo trudnych, jak związek Eulera. Wykład był ilustrowany różnymi aktywnościami interaktywnymi, z udziałem uczniów. Niektóre z nich wzorowane są na opracowaniach kolegów dydaktyków matematyki (np. z Uniwersytetu w Trento), inne zostały przygotowane oryginalnie dla tego wykład Potrzebne rekwizyty to np. pomarańcza, sznurek, owalny talerz, pokrywka do smażenia jajek w kuchence mikrofalowej, stożkowe kieliszki, a w końcu też imadło i ciężki młotek. W takim ujęciu, matematyka wraca jako nauka doświadczalna, indukcyjna, interaktywna, i prosta. Reportaż z wykładu jest zawarty w oddzielnym materiale internetowym.
Einstein: „Dobry Pan Bóg…” Dobry Pan Bóg wymyślił liczby naturalne: 1,2,3, dziesięć, sto, tysiąc i jeszcze większe, np.: „do kroćset kroci tysięcy fur beczek furgonów, milijonów (diabłów!, bo jakem Maciej)” Jabłka, kamienie, atomy, liczy się w liczbach naturalnych. W matematyce rzymskiej nie było zera (bo jak czegoś nie ma , to nie ma). I wszystko szło dobrze, do czasów niejakiego Pitagorasa (VI wiek przed n.e.) Ale zacznijmy od początku…
Już 4 tysiące lat temu… W starożytnym Egipcie (i na pewno też w Mezopotamii) ludzie wymyślili matematykę: trzeba było sprawiedliwie dzielić poletka wzdłuż Nilu (i obliczać podatki)
Papirus Rhind (~1550 p.n.e)
Papirus moskiewski (1850 p.n.e.)
Pitagoras z Samos „Liczba jest istotą wszystkich rzeczy” [wiki.pl] Pitagoras zajmował się dwoma zagadnieniami: 1) muzyką (i tu szło dobrze) 2) kwadratami (i tu pojawiły się poważne kłopoty)
Jak narysować koło? A jak kwadrat?
9 + 16 = 25 3x3 + 4x4 = 5x5
Pitagoras: wstrząsające odkrycie Nie wszystkie liczby dadzą się zapisać jak (egipskie) ułamki
Liczba „niewymierna” Jest tylko jedna liczba, która pomnożona przez siebie daje 2 Nazwiemy ją „pierwiastek” √2 P1 = 2 = √2∙√2 Niestety, nie daje się przedstawić jako ułamek √2= 1,4142135… √2= 1.4142135623730950488… Dlatego nazywamy ją niewymierną („nie-racjonalną”, po angielsku)
Ale to też już znali Babilończycy… 1+ 24/60 + 51/602 + 10/603 = 30547/21600 ≈1,41421(296) Dziś znamy √2 z dokładością do tryliona cyfr…
Ile kawałków ma pomarańcza?
Możemy więc, zrobić z koła kwadrat – ale jak?
Archimedes (287-212 a.C.) Syrakuza
Archimedes
Rozwinięcie okręgu (Archimedes, Kochański 1685)
Srinivasa Ramanujan (1914)
π = 4 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + 4/9 – 4/11 + 4/13 - … π = 3 + 4/(2∙3∙4) – 4/(4∙5∙6) + 4/(6∙7∙8) – 4/(8∙9∙10) + … π2/6 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + … π/2 = 2/1 ∙ 2/3 ∙ 4/3 ∙ 4/5 ∙ 6/5 ∙ 6/7 ∙ 8/7 ∙ 8/9 ∙ … π = 2 ∙ 2/√2 ∙ 2/ √(2+√2) ∙ 2/ √[2+√(2+√2)] ∙ … (Viète) … 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067
Wyścig trwa 31 grudnia 2009 r. Fabrice Bellard ogłosił, że udało mu się obliczyć π z dokładnością do 2 700 miliardów cyfr. Obliczenia ze sprawdzeniem zajęły 131 dni, do obliczeń użyto komputera z procesorem Intel Core i7 (2,93 GHz) i 6 GB RAM. Sam zapis binarny liczby zajmuje około 1,12 TB[3]. W roku 2010 obliczono cyfrę będącą na 2 000 000 000 000 000 miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi i wynosi ona zero. Obliczenia trwały 23 dni na 1000 maszynach[4]. W październiku 2011 Alexander J. Yee i Shigeru Kondo uzyskali dokładność ok. 10 bilionów (1013) miejsc po przecinku[5]. Obliczenia zajęły 371 dni. W październiku 2014 anonimowa osoba o nicku houkouonchi uzyskała dokładność ok. 13,3 bilionów miejsc po przecinku. Obliczenia zajęły 208 dni, a sprawdzanie 182 godziny[6]. W listopadzie 2016 Peter Trueb uzyskał dokładność ok. 22,5 bilionów miejsc po przecinku przy pomocy programu y-cruncher [1]. Obliczenia zajęły 105 dni, a sama liczba zajęła ok. 120 TB miejsca. [6]
Archimedes: objętość kuli
Archimedes: objętość kuli
Najważniejszy wzór geometrii (3D) Pole powierzchni kuli P = 4πR2
Archimedes vs. Penrose
J. Barrow: „Numerologia” Tutaj spoczywa Jan Gula Karabinowa dosięgła go kula. Naprawdę nazywał się Orzeł, Lecz Orzeł nie rymuje się z kula, A z Gula rymować się może.
Trójkąt Pascala (Tartagli)
Ciąg Fibonacciego (1170-1250)
Złota proporcja
Matematyka piękna
Złota spirala
Spirala „logarytmiczna”
Spirala „logarytmiczna”: liczba e
Najpiękniejszy wzór matematyki Jeszcze jedna dziwna liczba i = √-1
Najpiękniejszy wzór fizyki
Dante Aligheri Paradiso, XXXIII, 133-135 „Qual è ‘l geomètra che tutto s’affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond’elli indige,” „jak geometra, który wciąż się trudzi, by zmierzyć koło, a nic znajduje, myśląc, o prawie, tam gdzie go szuka” (tłum. GK)
Co dalej z matematyką? To co zawsze: pozostają królową nauk
Literatura Inż.Stefan Jeleński Lilivati i Śladami Pitagorasa (PWN 1970) Joaquín Navarro, Tajemnice liczby π. Dlaczego niemożliwa jest kwadratura koła? Świat jest matematyczny, RBA, Barcelona, 2010 Fernando Corbalán. Złota proporcja. Matematyczny język piękna. RBA, 2010 i inne 24 pozycje z tej serii John D. Barrow, Stałe natury. O liczbach skrywających najgłębsze tajemnice wszechświata. Copernicus Center, Kraków, 2017 https://pl.wikipedia.org/wiki/Pi https://en.wikipedia.org/wiki/Pi https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Interventi/Articoli/Italia/PiCorgnier/PiCorgnier.html http://www.angio.net/pi/piquery.html - tu możesz sprawdzić, czy zadana przez ciebie sekwencja występuje w rozwinięciu dzisiętnym liczby pi.
Dostları ilə paylaş: |
|
|