Maktab dasturida haqiqiy son tushunchasini kiritish. Xaqiqiy sonlar ustida amallar” mavzusidagi

Ikki to’plam elementlari orasidagi moslik.
1. Ta’rif. X*Y dekart ko’paytmaning istalgan G_f qism to’plami X va Y to’plamlar orasidagi moslik deyiladi.
Moslik lotin alifbosining f, g, t, s kabi harflari bilan belgilanadi.
Sizga ma’lum bo’lgan funkts*iyalarning hammasi moslik tushunchasiga misol bo’la oladi.
X to’plam moslikning birinchi to’plami deyiladi. X to’plamning moslikda ishtirok etuvchi elementlari to’plami moslikning aniqlanish sohasi deyiladi.
Y to’plam moslikning ikkinchi to’plami deyiladi. Y to’plamning moslikda katnashgan elementlari to’plami moslikning qiymatlar to’plami deyiladi.

2. G_fÌX*Y to’plam moslikning grafigi deyiladi. 2 to’plam orasidagi moslikni nuqtalar va yunalishli kesmalar (strelkalar) yordamida tasvirlovchi rasmlar moslikning grafi deyiladi. Masalan:

   
   

X f Y

1. .m
   

2. .n
   

3. .p
   

d .q
e

X={a, b, c, d, e}

Y={m, n, p, q}

G_f={(a,n), (b,p), (c,n), (c,q), (d,p)}.
Aniqlanish sohasi ={a, b, c, d}
qiymatlar to’plami ={n, p, q}.

3. 1-Ta’rif: Agar f moslikning aniqlanish sohasi birinchi to’plam bilan ustma-ust tushsa, f moslik hamma yerda aniqlangan deyiladi.

   
   

2-Ta’rif: Agar f-moslikning qiymatlar to’plami ikkinchi to’plam bilan ustma-ust tushsa, f moslik syur’ektiv deyiladi.

3-Ta’rif: Agar f moslikda birinchi to’plamning har bir elementiga ikkinchi to’plamning bittadan ortiq bo’lmagan elementi mos kelsa, f moslik funkts*ional deyiladi.
4-Ta’rif: Agar f moslikda ikkinchi to’plamning har bir elementiga birinchi to’plamning 1 tadan ortiq bo’lmagan elementi mos qo’yilgan bo’lsa, f moslik in’ektiv deyiladi.
5-Ta’rif: Syur’ektiv va in’ektiv moslik bir so’z bilan biektiv deyiladi.
6-Ta’rif: Hamma yerda aniqlangan funkts*ional moslik akslantirish deyiladi.
7-Ta’rif: X va Y to’plamlar orasidagi f moslik biektiv akslantirish bo’lsa, X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan deyiladi.
8-Ta’rif: X va Y to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilgan bo’lsa, bu to’plamlar teng quvvatli deyiladi.
9-Ta’rif: Barcha natural sonlar sonlar to’plami Nga teng quvvatli to’plamlar sanoqli to’plam deyiladi.
Binar munosabatlar va ularning xossalari.
Ta’rif. X*X ning istalgan G qism to’plami binar munosabat deyiladi. Binar munosabatlar P, Q, R va boshka lotin harflari bilan belgilanadi.
Matematikada binar munosabatlar «=», «<», «>», «¹», «ôú», «^» kabi belgilar orqali beriladi.
Masalan: C={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} to’plam elementlari orasidagi munosabat R: «x>y» berilgan. U quyidagi juftliklar to’plami orqali ifoda qilinadi.
G={(4;3), (5;3), (5;4), (6;3), (6;4), (6;5), (7;3), (7;4), (7;5), (7;6), (9;3), (9;4), (9;5), (9;6), (9;7)}.
Ta’rif: Agar X to’plamning har bir elementii o’z-o’zi bilan R munosabatda bo’lsa (ya’ni, xRx bajarilsa), u holda R munosabat X to’plamda refleksiv deyiladi.
Masalan, «=», «½ê», « » munosabatlar refleksivdir.
Ta’rif: Agar X to’plamning birorta ham elementi uchun xRx bajarilmasa, u holda R munosabat X to’plamda antirefleksiv deyiladi.
Masalan, «<», «>», «^» munosabatlar antirefleksivdir.
Ta’rif: Agar X to’plamda R munosabat berilgan bo’lib, xRy va yRx shartlar bir vaqtda bajarilsa, R-simmetrik munosabat deyiladi.
Masalan, «||», «^», «=» munosabatlar simmetrik munosabatlardir.
Ta’rif: Agar X to’plamda R munosabat uchun xRy va yRx ekanligidan x=y ekanligi kelib chiqsa, R antisimmetrik munosabat deyiladi.
Masalan, «x soni u soniga karrali» munosabati antisimmetrikdir.
Ta’rif: Agar X to’plamda berilgan R munosabat uchun xRy va uRz ekanligidan xRz bajarilishi kelib chiqsa, u holda R munosabat tranzitiv deyiladi.
Masalan, «=», « », «<» kabi munosabatlar tranzitivdir.
Ta’rif: Har qanday R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lsa, u holda R ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Masalan, «||», «=», «@» kabi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo’ladi. Ekvivalentlik munosabati to’plamni sinflarga ajratadi.
Ta’rif: Agar R munosabat antisimmetrik va tranzitiv bo’lsa, u holda R tartib munosabati deyiladi.
Masalan, «<», «>», «£», «³» lar tartib munosabati bo’ladi.
Ta’rif: Agar X va Y to’plam elementlari orasidagi R munosabatda X to’plamning har bir elementiga Y to’plamning bittadan ortiq bo’lmagan elementi mos kelsa, u holda R funkts*ional munosabat yoki funkts*iya deyiladi. (Misollar maktabdan olinadi).
Ta’rif: Agar R munosabat funkts*ional bo’lsa, u holda uning aniqlanish sohasi funkts*iyaning aniqlanish sohasi deyiladi. qiymatlar sohasi esa, funkts*iyaning qiymatlar sohasi deyiladi.
Ta’rif: Agar X va Y to’plamlar elementlari orasidagi R munosabatda Xning har bir elementiga Yning faqat bitta elementi mos kelsa, u holda R munosabat Xni Yga syur’ektiv akslantirish deyiladi.
Ta’rif: Agar akslantirishning qiymatlar sohasi Y to’plam bilan teng bo’lsa, akslantirish in’ektiv deyiladi.
Xulosa
Haqiqiy son tushunchasini yanada kengaytirish matematika fanini nazariy jihatdan rivojlantirish ehtiyojlari tufayli paydo bo’ldi. Shunday qilib, kompleks son tushunchasi vujudga keldi. Italyan matematigi R. Bombelli taxminan 1560 yillarda yozilgan va 1572 yilda chop etilgan «Algebra» asarida mavhum miqdorlarni kiritib, ular ustida amallar bajarishning oddiy qoidalarini keltirdi va ularni kub tenglamalarning keltirilmaydigan hollarini tekshirishga tatbiq etdi.
Kompleks son tushunchasini yanada rivojlantirishda fransuz olimi Fransua Viyet (1540-1603), ingliz olimi Vallis (1617-1703) va golland matematigi Albert Jirar (1592-1632) katta hissa qo’shdilar. Jumladan, Vallis 1685 yilda yozgan algebra bo’yicha asarida kompleks sonlarni geometrik tasvirlash g’oyasini bayon qilgan bo’lsa, Jirar «Algebrada yangi kashfiyotlar» (1629) asarida tenlamalarning manfiy ildizlarini qaradi hamda tenglamalarning manfiy ildizlariga yo’nalgan kesmalar sifatida geometrik tavsif berdi.
XIX asrda son tushunchasi yana ham umumlashtirilib, kompleks sonning umumlashgan shakli kashf etildi. Bu sonni birinchi bo’lib irland matematigi Uilyam Rouan Gamilton (1805-1865) va nemis matematigi Grassman German Gyunter (1809-1977) bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda kiritdilar. Ular bir necha birlikka ega sonlar sistemalarining xususiy holi sifatida kompleks sonlar nazariyasining formal bayonini berdilar. Gamilton o’zaro quyidagi ko’paytirish jadvali bilan bog’langan to’rtta birlikka ega bo’lgan o’ziga xos sonlar sistemasi (kvarternionlar)ni yaratdi. Uning g’oyasi Grassman g’oyalariga yaqin edi, buning ustida 8 yil ishladi. Lekin Grassmanning bayoni o’zining aniqligi bilan faqat kvaternionlarnigina emas, balki kompleks sonlarning ham tan olinishida muhim rol o’ynadi.
Umuman olganda, ushbu mavzu menda katta tassurot qoldirdi. Shuning uchun qolgan talabalarga ham bu mavzuni o’rganib chiqishni va shu sohada ilmiy izlanishlar olib borishlarini maqsadga muvofiq deb o’ylayman.