25-rasm.
Umumiy vaziyatdagi kesmaning haqiqiy uzunligini yasash
Umumiy vaziyatdagi to‘g‘ri chiziq kesmasining to‘g‘ri burchakli proeksiyasi
hamma vaqt o‘zidan qisqa bo‘ladi. Ammo epyurda kesmaning ikki proeksiyasi
berilgan bo‘lsa, uning haqiqiy uzunligini yasash mumkin.
Hakikatan ham, 26-
rasmdan yaqqol ko‘rinib turibdiki, AB kesma to‘g‘ri burchakli ABC (yoki ABD)
uchburchakning gipotenuzasidir. ABC uchburchakning katetlaridan biri AC — ab,
ikkinchisi BC = z
B
— z
A
=
Δ
z (ya’ni A va B nuqta balandliklarining algebraik ayirmasiga
teng).
ABD uchburchakning bir kateti AD = a'b', ikkinchisi esa BD = Y
B
- Y
A
=
Δ
Y (ya’ni
A va B nuqta chuqurliklarining algebraik ayirmasiga teng). Demak, epyurda
kesmaning gorizontal va frontal
proeksiyalaridan foydalanib, uning haqiqiy
uzunligini yasash uchun to‘g‘ri burchakli ABC yoki ABD uchburchakka teng
uchburchak yasash kerak. Shuning uchun bu usul
to‘g‘ri burchakli uchburchak usuli
deyiladi. 27- rasmdagi epyurda
Δ
ABC ga teng uchburchak yasalgan. Bu
Δ
ab b
0
ni
yasash uchun a' nuqtadan gorizontal chiziq o’tkazib, c' nuqtani topamiz. So’ngra
gorizontal proeksiya (ab)
ning biror uchidan, masalan, b dan perpendikulyar
bo’yicha c'b' =
Δz
kesmani qo’yib b
0
nuqtani aniqlaymiz.
26-rasm.
ab
0
gipotenuza berilgan AB kesmaning haqiqiy uzunligiga teng bo‘ladi.
27-rasm.
Ma’lumki, to‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak to‘g‘ri chiziq bilan bu
to‘g‘ri chiziqning shu tekislikdagi to‘g‘ri burchakli proeksiyasi orasidagi burchakka
teng. Shunga ko’ra epyurdagi gorizontal proeksiya (ab) bilan gipotenuza (ab
0
)
orasidagi burchak (a) berilgan AB chiziq bilan H tekislik orasidagi burchakka teng.
Demak, kesmaning haqiqiy uzunligini yasash bilan bir vaqtda, uning
proeksiyalar
tekisligiga og’ish (qiyalik) burchagi ham topiladi.
To‘g‘ri chiziq bilan H, V, W tekisliklar orasidagi burchaklar, odatda, α,β,γ bilan
belgilanadi. Bu burchaklardan birini topish uchun tegishli proeksiyada to‘g‘ri
burchakli uchburchak yasaladi.
Kesma bilan V tekislik orasidagi β burchakni topish uchun uchburchakning
katetlari sifatida kesmaning frontal proeksiyasi (a'b') va ordinatalarining algebraik
ayirmasi (
Δ
y) olinadi (26- rasmdagi epyurda
Δy
= y
B
— y
A
= b
x
b — a
x
a).
Kesma bilan W tekislik orasidagi γ burchakni topish uchun,
yasaladigan
uchburchakning bir kateti sifatida kesmaning profil proeksiyasi (a" b"), ikkinchi
kateti sifatida esa abssissalarning algebraik ayirmasi (
Δ
x) olinadi (epyurda
Δx
=
a
x
b
x
). 26-rasmdagi kesma uchun epyurda β va γ burchaklarni yasash talabalarning
o’zlariga tavsiya qilinadi.
Shunday qilib, proeksiyalari orqali berilgan kesmaning haqiqiy uzunligini
yasash uchun shunday to‘g‘ri burchakli uchburchak yasash kerakki, uning bir kateti
kesmaning
proeksiyalaridan biriga, ikkinchi kateti esa kesmaning boshqa
proeksiyasi uchlaridan proeksiyalar o‘qigacha bo‘lgan masofalarning algebraik
ayirmasiga (ya’ni, z
B
— z
A
yo y
B
— y
A
yoki x
B
— x
A
ga) teng bo’lsin.
Bunday
uchburchak gipotenuzasining uzunligi kesmaning haqiqiy uzunligiga teng bo’ladi.
Misol.
Kesmaning gorizontal proeksiyasi (ab) va frontal proeksiyasi (a'b')
berilgan (27-rasm). Kesmaning haqiqiy uzunligi va V tekislikka og’ish burchagi (β)
yasalsin.
Kesmaning frontal proeksiyasida to‘g‘ri burchakli uchburchak yasaymiz.
Uchburchakning bir kateti a'b', ikkinchi kateti esa a'a
0
= aa
x
+ b
x
b = y
A
+ y
B
. Bu yerda
A nuqtaning ordinatasi musbat, B nuqtaniki esa manfiy,
shuning uchun kesma
gorizontal proeksiyasining uchlaridan OX o‘qigacha bo‘lgan masofalarni
ko‘rsatuvchi kesmalar qo’shiladi.
Dostları ilə paylaş: