Ma’ruza №2. To‘g‘ri chiziqning proeksiyalari. To‘g‘ri chiziqning proeksiya tekisliklar bilan kesishtirib izlarini aniqlash. Fazoda berilgan ikki to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyatlarini epyurda tasvirlash

xususiy vaziyatdagi to‘g‘ri chiziq
deyiladi. Proeksiya tekisliklarida yotgan 
to‘g‘ri chiziqlar ham shu guruhga kiradi. 

---

25-rasm. 
Umumiy vaziyatdagi kesmaning haqiqiy uzunligini yasash 
Umumiy vaziyatdagi to‘g‘ri chiziq kesmasining to‘g‘ri burchakli proeksiyasi 
hamma vaqt o‘zidan qisqa bo‘ladi. Ammo epyurda kesmaning ikki proeksiyasi 
berilgan bo‘lsa, uning haqiqiy uzunligini yasash mumkin. Hakikatan ham, 26-
rasmdan yaqqol ko‘rinib turibdiki, AB kesma to‘g‘ri burchakli ABC (yoki ABD) 
uchburchakning gipotenuzasidir. ABC uchburchakning katetlaridan biri AC — ab, 
ikkinchisi BC = z
B
— z
A
=
Δ
z (ya’ni A va B nuqta balandliklarining algebraik ayirmasiga 
teng). 
ABD uchburchakning bir kateti AD = a'b', ikkinchisi esa BD = Y
B
- Y
A
= 
Δ
Y (ya’ni 
A va B nuqta chuqurliklarining algebraik ayirmasiga teng). Demak, epyurda 
kesmaning gorizontal va frontal proeksiyalaridan foydalanib, uning haqiqiy 
uzunligini yasash uchun to‘g‘ri burchakli ABC yoki ABD uchburchakka teng 
uchburchak yasash kerak. Shuning uchun bu usul 
to‘g‘ri burchakli uchburchak usuli
deyiladi. 27- rasmdagi epyurda 
Δ
ABC ga teng uchburchak yasalgan. Bu 
Δ
ab b
0
ni 
yasash uchun a' nuqtadan gorizontal chiziq o’tkazib, c' nuqtani topamiz. So’ngra 
gorizontal proeksiya (ab) ning biror uchidan, masalan, b dan perpendikulyar 
bo’yicha c'b' = 
Δz
kesmani qo’yib b
0
nuqtani aniqlaymiz. 

---

26-rasm. 
ab
0
gipotenuza berilgan AB kesmaning haqiqiy uzunligiga teng bo‘ladi. 
27-rasm. 
Ma’lumki, to‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak to‘g‘ri chiziq bilan bu 
to‘g‘ri chiziqning shu tekislikdagi to‘g‘ri burchakli proeksiyasi orasidagi burchakka 
teng. Shunga ko’ra epyurdagi gorizontal proeksiya (ab) bilan gipotenuza (ab
0
) 
orasidagi burchak (a) berilgan AB chiziq bilan H tekislik orasidagi burchakka teng. 
Demak, kesmaning haqiqiy uzunligini yasash bilan bir vaqtda, uning proeksiyalar 
tekisligiga og’ish (qiyalik) burchagi ham topiladi. 

---

To‘g‘ri chiziq bilan H, V, W tekisliklar orasidagi burchaklar, odatda, α,β,γ bilan 
belgilanadi. Bu burchaklardan birini topish uchun tegishli proeksiyada to‘g‘ri 
burchakli uchburchak yasaladi. 
Kesma bilan V tekislik orasidagi β burchakni topish uchun uchburchakning 
katetlari sifatida kesmaning frontal proeksiyasi (a'b') va ordinatalarining algebraik 
ayirmasi (
Δ
y) olinadi (26- rasmdagi epyurda 
Δy
= y
B
— y
A
= b
x
b — a
x
a). 
Kesma bilan W tekislik orasidagi γ burchakni topish uchun, yasaladigan 
uchburchakning bir kateti sifatida kesmaning profil proeksiyasi (a" b"), ikkinchi 
kateti sifatida esa abssissalarning algebraik ayirmasi (
Δ
x) olinadi (epyurda 
Δx
= 
a
x
b
x
). 26-rasmdagi kesma uchun epyurda β va γ burchaklarni yasash talabalarning 
o’zlariga tavsiya qilinadi. 
Shunday qilib, proeksiyalari orqali berilgan kesmaning haqiqiy uzunligini 
yasash uchun shunday to‘g‘ri burchakli uchburchak yasash kerakki, uning bir kateti 
kesmaning proeksiyalaridan biriga, ikkinchi kateti esa kesmaning boshqa 
proeksiyasi uchlaridan proeksiyalar o‘qigacha bo‘lgan masofalarning algebraik 
ayirmasiga (ya’ni, z
B
— z
A
yo y
B
— y
A
yoki x
B
— x
A
ga) teng bo’lsin. Bunday 
uchburchak gipotenuzasining uzunligi kesmaning haqiqiy uzunligiga teng bo’ladi. 
Misol.
Kesmaning gorizontal proeksiyasi (ab) va frontal proeksiyasi (a'b') 
berilgan (27-rasm). Kesmaning haqiqiy uzunligi va V tekislikka og’ish burchagi (β) 
yasalsin. 
Kesmaning frontal proeksiyasida to‘g‘ri burchakli uchburchak yasaymiz. 
Uchburchakning bir kateti a'b', ikkinchi kateti esa a'a
0
= aa
x
+ b
x
b = y
A
+ y
B
. Bu yerda 
A nuqtaning ordinatasi musbat, B nuqtaniki esa manfiy, shuning uchun kesma 
gorizontal proeksiyasining uchlaridan OX o‘qigacha bo‘lgan masofalarni 
ko‘rsatuvchi kesmalar qo’shiladi.