Matematik Dünyas›, 2005 Güz



Yüklə 37,93 Kb.

tarix17.11.2018
ölçüsü37,93 Kb.


17

Matematik Dünyas›, 2005 Güz

Elips, parabol ve hiperbol olarak

üç s›n›fa ayr›lan konikler MÖ 350 dolay›nda, bir

yandan gözü dönmüfl bir biçimde dünyay› fetheder-

ken bir yandan da bilim ö¤renen Büyük ‹skender’in

hocas›  Menaechmus  taraf›ndan  keflfedilmifl  olabi-

lirler. Tam ne zaman keflfedildiklerinden yüzde yüz

emin olamay›z elbette.

Yaln›z Menaechmus hiperbolün ikinci bir par-

ças› daha oldu¤unu görememifl, birincisine tak›l›p

kalm›flt›r.

Menaechmus’un nihai amac›, bugün çözümü-

nün  imkâns›z  oldu¤u  bilinen  üç  meflhur  problemi

çözmekti: 1) Herhangi bir aç›y› üç eflit parçaya böl-

mek, 2) Verilmifl bir kübün hacminin iki misli olan

bir küp çizmek, daha do¤rusu birim uzakl›k veril-

miflse  2

1/3


uzunlu¤unu  çizmek,  3)  Verilmifl  bir

çemberin  alan›na  eflit  bir  kare  infla  etmek,  daha

do¤rusu  birim  uzunluk  verilmiflse 

uzunlu¤unu

çizmek. Çizimler çentiksiz cetvel ve pergelle yap›l-

mal›yd›  ve  bu  çizimlerin  bugün  imkâns›z  oldu¤u

biliniyor. (Tekrar tekrar söylemekte yarar var!)

Koni¤in ilk tan›m›, taban› bir çember olan bir

dik  koniyi,  koninin  bir  yüzey  do¤rusuna  dik  bir

düzlemle  kesifltirerek

elde edilen e¤riydi. Bu

yüzden  koniklere  ko-



nik  kesitler de  denir.

Bugün,  bu  tan›mdan

daha  genel  bir  tan›m

kabul edilir.

Menaechmus  ta-

raf›ndan  ilk  bulunu-

flundan  150  y›l  kadar  sonra

Apollonius (MÖ ≈262-190) ko-

nikler  hakk›nda  içinde  487  te-

orem  bar›nd›ran  8  cilt  yazm›fl-

t›r. Ad›  Konik Kesitler olan bu

kitab›n son cildi ne yaz›k ki gü-

nümüze  ulaflmam›flt›r.  ‹lk  dört

cildin  Yunancas›  mevcuttur,

sonraki  üç  cildin  ise  sadece

Arapça çevirileri.

Ça¤›nda “Büyük Geometrici” diye bilinen Apol-

lonius, kendisinden öncekiler gibi sadece dik konile-

ri de¤il, tüm konileri alm›flt›r koni¤in tan›m›na.

Memleketi Antalya (Perge ilçesi, Murtana kö-

yü) oldu¤u düflünülen (baz›lar› bundan kuflku du-

yuyor)  Apollonius’un  kitab›nda  bizim  kulland›¤›-

m›z koordinat sistemlerine benzer bir referans sis-

temi kullanmas› ayr›ca flayan-› hayrettir. Ancak ce-

bir bilmedi¤inden, bu sistemden yeterince yararla-

namam›flt›r.

Önemli noktalar› harflerle simgelemek gibi bir

kolayl›¤›n o zamanlar daha henüz bilinmedi¤i dü-

flünülünce,  Apollonius’un  eriflti¤i  düzeye  hayran

kalmamak gerçekten mümkün de¤il.

Apollonius’un  baflar›lar›n›  takdir  edebilmek

için herhalde kendisinden afla¤› yukar› 60 yafl bü-

yük Öklid’le (MÖ 325-265) karfl›laflt›rmak yeterli-

dir. Öklid, Elemanlar adl› ünlü yap›t›nda üç nok-

tadan geçen bir çemberin pergel ve cetvelle nas›l çi-

zilece¤ini göstermifltir. Öklid, üç do¤ruya te¤et bir

çemberin de nas›l çizilece¤ini göstermifltir. Bunlar,

oldukça kolay fleyler. Bugün ortalama bir lise ö¤-

rencisi Öklid’in bu yapt›klar›n› yapar. Ama Apol-

lonius, örne¤in üç çembere ya da iki çember ve bir

do¤ruya te¤et çember çizmeyi baflarm›flt›.

Apollonius’un  eseri  öylesine  muhteflemdi  ki,

ça¤lar  boyunca  bu  konuda  araflt›racak  pek  bir  fley

b›rakmam›flt›  matematikçilere.  Öklid’in  Eleman-

lar’›yla birlikte Yunan matemati¤inin ulaflt›¤› düze-

yi ve güzelli¤i mükemmel bir biçimde yans›t›rlar.

Gençli¤inde ‹skenderiye’ye giderek Öklid’in ö¤-

Koniklerin Tarihçesi ve

Antalyal› Apollonius

Hawan Batson



Kapak Konusu: Poncelet Teoremleri

Çember


Elips

Parabol


Hiperbol

Apollonius




rencilerinden matematik ö¤renen Apollonius, daha

sonra  burada  ders  de  vermifltir.  Konikler  kitab›n›

burada  yazm›flt›r.  Kitab›n  önsözünden:  ‹skenderi-

yeye  geldi¤inde  bende  kalan  geometrici  Naucra-

tesin  iste¤i  üzerine  konuyla  ilgilenmeye  bafllad›m.

Bulduklar›m› sekiz ciltte toparlay›p hemen kendisi-

ne  verdim,  çünkü  denize  aç›lmas›  gerekiyordu.  Ki-

tap  aceleye  geldi,  yeterince  gözden  geçiremedim.

Gözden geçirmeyi en sona erteleyerek akl›ma gelen

bir fleyi hemen yaz›yordum.

Apollonius  çok  yazm›fl  bir  matematikçidir.

Ama ne yaz›k ki pek çok eseri kaybolmufltur. Ör-

ne¤in,  aksiyomlar  ve  tan›mlar›n  anlam›  üzerine

yazd›¤› metamatematiksel bir eseri kay›pt›r. Bu ya-

p›t› bugün okuyabilmek o zamanki matematik an-

lay›fl› konusunda bize çok fley kazand›racakt›r. Bu

yap›t›n›  okumasak  da,  Apollonius’un  böyle  derin

bir konuda yazma ihtiyac›n› hissetmifl olmas› bile

bafll› bafl›na flafl›rt›c›. 

Tüm yap›tlar› Arapçaya çevrilmifltir. Sadece bu

olgu  bile  zaman›n  Arap  kültürü  hakk›nda  baya¤›

bir ipucu verir.

Apollonius konikleri s›n›fland›r›rken konikler-

le  belirlenmifl  iki  alan›  karfl›laflt›rd›¤›ndan,  yak›n

zamana kadar, Apollonius’un, birinci alan›n ikinci

alandan küçük, eflit ya da büyük olmas›na göre bu

e¤rilere elips, parabol ve hiperbol ad›n› verdi¤i dü-

flünülüyordu.  (‹ngilizce  “hyperbole”  sözcü¤ü

abartma,  mübala¤a  anlam›na  gelir  örne¤in.)  An-

cak Apollonius bir ça¤dafl› olan matematikçi Dioc-

les’in (MÖ ≈240-180) Yakan Aynalar adl› eserinin

Arapça  çevirisinin  yak›n  geçmiflte  ‹ran’da  bulun-

mas›  bugün  bundan  kuflku  duymam›za  neden  ol-

mufltur.

Diocles  de  konikleri  ça-



l›flm›flt›r.  Eserinin  ad›n›n

“Yakan Aynalar” olmas› bo-

flu  bofluna  de¤ildir.  Parabo-

lün  odak  noktas›ndan  ç›kan

bir  ›fl›k  huzmesini  eksenine

paralel  olarak  yans›tt›¤›n›

(araba  farlar›n›n  modelini)

ilk o keflfetmifltir. Ayr›ca pa-

rabolün odak noktas› ve do¤rultmanla tan›m›n› da

ilk o bulmufltur [MD-2005-II, sayfa  34-39].

Apollonius’un  da  “Yakan  Aynalar  Üzerine”

bafll›kl› bir kitab› vard›r. Apollonius’tan önce küre-

sel  bir  aynan›n  günefl  ›fl›nlar›n›  tek  bir  noktaya

yans›taca¤›  düflünülüyordu.  Bu  kitab›nda  Apollo-

nius  bunun  yanl›fl  oldu¤unu  göstermifltir.  Do¤ru

yan›t› (parabol ayna) Diocles’in buldu¤u kesin de,

ayn› yan›t› Apollonius da bulmufl olabilir.

Apollonius’un Konikler’i yeryüzünün en uzun

süre  okunan  kitaplar›ndand›r.  En  az›ndan  17’nci

yüzy›la kadar, yani 2000 y›l boyunca okunmufltur

[bkz. MD-2005-II, sayfa 54-61].

Rönesans’ta Kepler’in gezegenlerin yörüngele-

rinin  elips  oldu¤u  kehanetiyle  birlikte  koniklere

18

Matematik Dünyas›, 2005 Güz

Yakan Aynalar! Matematik savafla alet edilirken... Giulio Parigi’nin (1571-1635)bir bir duvar resmi (Floransa, ‹talya). Ancak son

y›llarda yap›lan deneyler, parabolik aynalarla bir geniyi atefle verecek kadar ›s› elde edilemeyece¤ini göstermifltir. Bu ve buna

benzer silahlar› Siracusa (Sicilya) kolonisinin Romal›lara karfl› korunmas› için Arflimet’in (287-211) icat etti¤i söylenir. 



olan ilgi tekrar canlanm›flt›r. Özellikle Descartes’›n

buldu¤u koordinat sistemi (analitik geometri) ko-

nuya cebirsel yöntemlerle yaklaflmay› mümkün k›-

larak eski teoremlerin de¤iflik kan›tlar›n›n verilme-

sini ve yeni teoremlerin kan›tlanmas›n› sa¤lam›flt›r.

Resimde  perspektifin  öneminin  anlafl›lmas›  ve

betimleyici (descriptive) ve projektif geometrilerin

do¤ufluyla konikler daha da önem kazan›r. Projek-

tif geometriyle u¤raflan Desargues, La Hire ve Pas-

cal konikler konusunu ileri bir düzeye getirmifller-

dir.  Newton,  Dandelin,  Gergonne,  Poncelet,  Bri-

anchon,  Dupin  ve  Steiner  ile  birlikte  konu  daha

zenginleflmifl ve güzelleflmifltir.

Geçen  say›m›zda  Andrei  Ratiu  ve  Selçuk  De-

mir’in yazd›klar› bir yaz›da koniklerin birçok flafl›r-

t›c›  özellikleri  verilerek  konunun  güzelli¤i  gözler

önüne seriliyordu. Okurun o yaz›y› mutlaka (ama

mutlaka!  Israr  etmek  gibi  olmas›n...)  okumas›n›

öneririz.  Büyük  olas›l›kla  daha  önce  karfl›laflma-

d›klar› bir estetikle karfl›laflacaklard›r. Sanki bu ka-

dar›  yetmezmifl  gibi,  Andrei  Ratiu’yla  Selçuk  De-

mir bu say›m›z için okuyanlar›n ayaklar›n› yerden

kesecek yaz›lar yazd›lar.

Koniklere dair söylenmesi gereken her fleyi bu

konudaki ikinci say›m›za da s›¤d›ramad›k. Hiçbir

zaman da s›¤d›ramayaca¤›z galiba. ‹lerde, f›rsat ol-

dukça, bugün kan›m›zca biraz küçümsenen bu ola-

¤anüstü güzel konuya de¤inmeyi umuyoruz. o

19

Matematik Dünyas›, 2005 Güz

Betimleyici (Descriptive) Geometri

Üç boyutlu uzaya birbirine dik 

ve 


düz-

lemleri yerlefltirelim. Düzlemlerden biri, diyelim

, yatay, di¤eri ise dikey olsun. Uzay›n herhangi

bir noktas›n›n bu iki düzlemin üstüne ve B

izdüflümlerini  alal›m.  Sonra  dikey 

düzlemini

’n›n üstüne yat›ral›m. Böylece tek bir düzlem, 

do¤rusu ve ve noktalar›n› elde ederiz. Bu

veriler bize uzaydaki noktas›n› belirlerler. Be-

timleyici geometrinin önemli konusu üç boyutlu

uzayla  iki  boyutlu  düzlem  aras›nda  yukarda

aç›klanan geçifli kurmakt›r. Örne¤in bir koniyle

bir düzlemin nas›l bir e¤ride kesiflece¤i kolayl›kla

bulunur.  Özellikle  mühendisler  için  çok  yararl›

bir konudur.

1. Merkür

2. Venüs


3. Dünya

4. Mars


5. Jüpiter

6. Satürn

7. Uranüs

8. Neptün

9. Pluton

10. Halley kuyruklu y›ld›z›

11. Asteroid kufla¤›

8

7



9

6

5



4

2

1



3

11

10



P

A

B

A

B

B

B

A

B


20

Matematik Dünyas›, 2005 Güz

Ayn› merkezli çemberlerden oluflan iki  sistemin kesiflimlerinden yukardaki flekildeki gibi hiperboller elde edilebilir.

Çemberler ne kadar s›k çizilirse, elde edilen flekil o kadar hiperbole benzer.

Benzer yöntemle sadece hiperbol de¤il, elips de elde edilebilir. Teknoloji mümkün k›ld›¤›ndan bu resimde gerçek elipsler



çizebildik. Bunu görenin matemati¤e ilgi duymamas› mümkün müdür?



Dostları ilə paylaş:


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə