Matematik Dünyas›, 2005 Güz
Yüklə 474,42 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Konik Kesitler
- Kapak Konusu: Poncelet Teoremleri
- Yakan Aynalar
- Matematik Dünyas›, 2005 Güz
| 17 Matematik Dünyas›, 2005 Güz Elips, parabol ve hiperbol olarak üç s›n›fa ayr›lan konikler MÖ 350 dolay›nda, bir yandan gözü dönmüfl bir biçimde dünyay› fetheder- ken bir yandan da bilim ö¤renen Büyük ‹skender’in hocas› Menaechmus taraf›ndan keflfedilmifl olabi- lirler. Tam ne zaman keflfedildiklerinden yüzde yüz emin olamay›z elbette. Yaln›z Menaechmus hiperbolün ikinci bir par- ças› daha oldu¤unu görememifl, birincisine tak›l›p kalm›flt›r. Menaechmus’un nihai amac›, bugün çözümü- nün imkâns›z oldu¤u bilinen üç meflhur problemi çözmekti: 1) Herhangi bir aç›y› üç eflit parçaya böl- mek, 2) Verilmifl bir kübün hacminin iki misli olan bir küp çizmek, daha do¤rusu birim uzakl›k veril- miflse 2 1/3
uzunlu¤unu çizmek, 3) Verilmifl bir çemberin alan›na eflit bir kare infla etmek, daha do¤rusu birim uzunluk verilmiflse uzunlu¤unu çizmek. Çizimler çentiksiz cetvel ve pergelle yap›l- mal›yd› ve bu çizimlerin bugün imkâns›z oldu¤u biliniyor. (Tekrar tekrar söylemekte yarar var!) Koni¤in ilk tan›m›, taban› bir çember olan bir dik koniyi, koninin bir yüzey do¤rusuna dik bir düzlemle kesifltirerek elde edilen e¤riydi. Bu yüzden koniklere ko- nik kesitler de denir. Bugün, bu tan›mdan daha genel bir tan›m kabul edilir. Menaechmus ta- raf›ndan ilk bulunu- flundan 150 y›l kadar sonra Apollonius (MÖ ≈262-190) ko- nikler hakk›nda içinde 487 te- orem bar›nd›ran 8 cilt yazm›fl- t›r. Ad› Konik Kesitler olan bu kitab›n son cildi ne yaz›k ki gü- nümüze ulaflmam›flt›r. ‹lk dört cildin Yunancas› mevcuttur, sonraki üç cildin ise sadece Arapça çevirileri. Ça¤›nda “Büyük Geometrici” diye bilinen Apol- lonius, kendisinden öncekiler gibi sadece dik konile- ri de¤il, tüm konileri alm›flt›r koni¤in tan›m›na. Memleketi Antalya (Perge ilçesi, Murtana kö- yü) oldu¤u düflünülen (baz›lar› bundan kuflku du- yuyor) Apollonius’un kitab›nda bizim kulland›¤›- m›z koordinat sistemlerine benzer bir referans sis- temi kullanmas› ayr›ca flayan-› hayrettir. Ancak ce- bir bilmedi¤inden, bu sistemden yeterince yararla- namam›flt›r. Önemli noktalar› harflerle simgelemek gibi bir kolayl›¤›n o zamanlar daha henüz bilinmedi¤i dü- flünülünce, Apollonius’un eriflti¤i düzeye hayran kalmamak gerçekten mümkün de¤il. Apollonius’un baflar›lar›n› takdir edebilmek için herhalde kendisinden afla¤› yukar› 60 yafl bü- yük Öklid’le (MÖ 325-265) karfl›laflt›rmak yeterli- dir. Öklid, Elemanlar adl› ünlü yap›t›nda üç nok- tadan geçen bir çemberin pergel ve cetvelle nas›l çi- zilece¤ini göstermifltir. Öklid, üç do¤ruya te¤et bir çemberin de nas›l çizilece¤ini göstermifltir. Bunlar, oldukça kolay fleyler. Bugün ortalama bir lise ö¤- rencisi Öklid’in bu yapt›klar›n› yapar. Ama Apol- lonius, örne¤in üç çembere ya da iki çember ve bir do¤ruya te¤et çember çizmeyi baflarm›flt›. Apollonius’un eseri öylesine muhteflemdi ki, ça¤lar boyunca bu konuda araflt›racak pek bir fley b›rakmam›flt› matematikçilere. Öklid’in Eleman- lar’›yla birlikte Yunan matemati¤inin ulaflt›¤› düze- yi ve güzelli¤i mükemmel bir biçimde yans›t›rlar. Gençli¤inde ‹skenderiye’ye giderek Öklid’in ö¤- Koniklerin Tarihçesi ve Antalyal› Apollonius Hawan Batson Kapak Konusu: Poncelet Teoremleri Çember
Elips Parabol
Hiperbol Apollonius rencilerinden matematik ö¤renen Apollonius, daha sonra burada ders de vermifltir. Konikler kitab›n› burada yazm›flt›r. Kitab›n önsözünden: ‹skenderi-
Apollonius çok yazm›fl bir matematikçidir. Ama ne yaz›k ki pek çok eseri kaybolmufltur. Ör- ne¤in, aksiyomlar ve tan›mlar›n anlam› üzerine yazd›¤› metamatematiksel bir eseri kay›pt›r. Bu ya- p›t› bugün okuyabilmek o zamanki matematik an- lay›fl› konusunda bize çok fley kazand›racakt›r. Bu yap›t›n› okumasak da, Apollonius’un böyle derin bir konuda yazma ihtiyac›n› hissetmifl olmas› bile bafll› bafl›na flafl›rt›c›. Tüm yap›tlar› Arapçaya çevrilmifltir. Sadece bu olgu bile zaman›n Arap kültürü hakk›nda baya¤› bir ipucu verir. Apollonius konikleri s›n›fland›r›rken konikler- le belirlenmifl iki alan› karfl›laflt›rd›¤›ndan, yak›n zamana kadar, Apollonius’un, birinci alan›n ikinci alandan küçük, eflit ya da büyük olmas›na göre bu e¤rilere elips, parabol ve hiperbol ad›n› verdi¤i dü- flünülüyordu. (‹ngilizce “hyperbole” sözcü¤ü abartma, mübala¤a anlam›na gelir örne¤in.) An- cak Apollonius bir ça¤dafl› olan matematikçi Dioc- les’in (MÖ ≈240-180) Yakan Aynalar adl› eserinin Arapça çevirisinin yak›n geçmiflte ‹ran’da bulun- mas› bugün bundan kuflku duymam›za neden ol- mufltur. Diocles de konikleri ça- l›flm›flt›r. Eserinin ad›n›n “Yakan Aynalar” olmas› bo- flu bofluna de¤ildir. Parabo- lün odak noktas›ndan ç›kan bir ›fl›k huzmesini eksenine paralel olarak yans›tt›¤›n› (araba farlar›n›n modelini) ilk o keflfetmifltir. Ayr›ca pa- rabolün odak noktas› ve do¤rultmanla tan›m›n› da ilk o bulmufltur [MD-2005-II, sayfa 34-39]. Apollonius’un da “Yakan Aynalar Üzerine” bafll›kl› bir kitab› vard›r. Apollonius’tan önce küre- sel bir aynan›n günefl ›fl›nlar›n› tek bir noktaya yans›taca¤› düflünülüyordu. Bu kitab›nda Apollo- nius bunun yanl›fl oldu¤unu göstermifltir. Do¤ru yan›t› (parabol ayna) Diocles’in buldu¤u kesin de, ayn› yan›t› Apollonius da bulmufl olabilir. Apollonius’un Konikler’i yeryüzünün en uzun süre okunan kitaplar›ndand›r. En az›ndan 17’nci yüzy›la kadar, yani 2000 y›l boyunca okunmufltur [bkz. MD-2005-II, sayfa 54-61]. Rönesans’ta Kepler’in gezegenlerin yörüngele- rinin elips oldu¤u kehanetiyle birlikte koniklere 18
Yakan Aynalar! Matematik savafla alet edilirken... Giulio Parigi’nin (1571-1635)bir bir duvar resmi (Floransa, ‹talya). Ancak son y›llarda yap›lan deneyler, parabolik aynalarla bir geniyi atefle verecek kadar ›s› elde edilemeyece¤ini göstermifltir. Bu ve buna benzer silahlar› Siracusa (Sicilya) kolonisinin Romal›lara karfl› korunmas› için Arflimet’in (287-211) icat etti¤i söylenir.
olan ilgi tekrar canlanm›flt›r. Özellikle Descartes’›n buldu¤u koordinat sistemi (analitik geometri) ko- nuya cebirsel yöntemlerle yaklaflmay› mümkün k›- larak eski teoremlerin de¤iflik kan›tlar›n›n verilme- sini ve yeni teoremlerin kan›tlanmas›n› sa¤lam›flt›r. Resimde perspektifin öneminin anlafl›lmas› ve betimleyici (descriptive) ve projektif geometrilerin do¤ufluyla konikler daha da önem kazan›r. Projek- tif geometriyle u¤raflan Desargues, La Hire ve Pas- cal konikler konusunu ileri bir düzeye getirmifller- dir. Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Bri- anchon, Dupin ve Steiner ile birlikte konu daha zenginleflmifl ve güzelleflmifltir. Geçen say›m›zda Andrei Ratiu ve Selçuk De- mir’in yazd›klar› bir yaz›da koniklerin birçok flafl›r- t›c› özellikleri verilerek konunun güzelli¤i gözler önüne seriliyordu. Okurun o yaz›y› mutlaka (ama mutlaka! Israr etmek gibi olmas›n...) okumas›n› öneririz. Büyük olas›l›kla daha önce karfl›laflma- d›klar› bir estetikle karfl›laflacaklard›r. Sanki bu ka- dar› yetmezmifl gibi, Andrei Ratiu’yla Selçuk De- mir bu say›m›z için okuyanlar›n ayaklar›n› yerden kesecek yaz›lar yazd›lar. Koniklere dair söylenmesi gereken her fleyi bu konudaki ikinci say›m›za da s›¤d›ramad›k. Hiçbir zaman da s›¤d›ramayaca¤›z galiba. ‹lerde, f›rsat ol- dukça, bugün kan›m›zca biraz küçümsenen bu ola- ¤anüstü güzel konuya de¤inmeyi umuyoruz. o 19
Betimleyici (Descriptive) Geometri Üç boyutlu uzaya birbirine dik ve
düz- lemleri yerlefltirelim. Düzlemlerden biri, diyelim , yatay, di¤eri ise dikey olsun. Uzay›n herhangi bir P noktas›n›n bu iki düzlemin üstüne A ve B izdüflümlerini alal›m. Sonra dikey düzlemini ’n›n üstüne yat›ral›m. Böylece tek bir düzlem, do¤rusu ve A ve B noktalar›n› elde ederiz. Bu veriler bize uzaydaki P noktas›n› belirlerler. Be-
uzayla iki boyutlu düzlem aras›nda yukarda aç›klanan geçifli kurmakt›r. Örne¤in bir koniyle bir düzlemin nas›l bir e¤ride kesiflece¤i kolayl›kla bulunur. Özellikle mühendisler için çok yararl› bir konudur. 1. Merkür 2. Venüs
3. Dünya 4. Mars
5. Jüpiter 6. Satürn 7. Uranüs 8. Neptün 9. Pluton 10. Halley kuyruklu y›ld›z› 11. Asteroid kufla¤› 8 7 9 6 5 4 2 1 3 11 10 P A B A B B B A B 20 Matematik Dünyas›, 2005 Güz Ayn› merkezli çemberlerden oluflan iki sistemin kesiflimlerinden yukardaki flekildeki gibi hiperboller elde edilebilir. Çemberler ne kadar s›k çizilirse, elde edilen flekil o kadar hiperbole benzer. Benzer yöntemle sadece hiperbol de¤il, elips de elde edilebilir. Teknoloji mümkün k›ld›¤›ndan bu resimde gerçek elipsler çizebildik. Bunu görenin matemati¤e ilgi duymamas› mümkün müdür? Yüklə 474,42 Kb. Dostları ilə paylaş:
|