Matematika kafedrasi sadirddinova fotimahonning

Bosh komponentalar usuli
Bosh komponentalar usulu (ingl. Principal component analysis, PCA) — olingan ma’lumotlarni eng kam informatsiya yo‘qotgan holda o‘lchovini pasaytirishning asosiy usullaridan biri hisoblanadi. U K. Pirson tomonidan 1901 yilda taklif etilgan bo‘lib, ko‘pgina amaliy masalalarni yechishda keng qo‘llaniladi. Bosh komponentalarni hisoblash boshlang‘ich ma’lumotdan tuzilgan kovariatsion matrisaning xos son va xos vectorlarni hisoblashga keltiriladi.
Bosh komponentalar usuli butun to‘lig‘icha umumiy ko‘rsatkichlarga asoslanib hulosa chiqaradi. Bu usulda ham faktorlar markazlashtirilgan, normallangan va korrelatsiyalanmagandir.
O’rganilayotgan X ko’rsatkichlar sistemasining birinchi bosh komponentasi Y₁(X) ushbu ko’rshatkichlardan tuzilgan normallashgan, markazlashtirilgan shunday chiziqli kombinatsiyasiki, u qolgan barcha shunday chiziqli kombinatsiyalar orasida eng katta dispersiyaga ega bo‘lishi kerak.
O’rganilayotgan X ko’rsatkichlar sistemasining k-bosh komponentasi Y₁(X) ushbu ko’rshatkichlardan tuzilgan normallashgan, markazlashtirilgan shunday chiziqli kombinatsiyasiki, u oldingi k-1 bosh komponentalar bilan korrelyatsiyalanmagan va qolgan barcha normallashgan, markazlashtirilgan va korrelyatsiyalanmagan oldingi k-1 chiziqli kombinatsiyalar orasida eng katta dispersiyaga egadir.
Uning mohiyati quyidagicha. Ushbu
(3)
yoki matritsa ko‘rinishida yozib oladigan bo‘lsak,

ifodani ko‘raylik. Markazlashtirilgan boshlang‘ich ko‘rsatkichlarni , deb belgilaylik. U holda (3) munosabatni (2) bilan solishtirish natijasida quyidagicha yozishimiz mumkin:
, (4)


A – faktorlar ta’siri koeffitsienti matritsasini aniqlash maqsadida boshlang‘ich ko‘rsatkichlar kovariatsiyasi matritsasining xos sonlarini va xos vektorlarini l bilan belgilaylik:
.
Eslatib o‘tish joizki, xos sonlar quyidagi tenglamadan topiladi:
yoki . (5)
Bu yerda E_m – birlik matritsa. (5) bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo‘lishi uchun bosh determinanti nol bo‘lishi kerak
(6)
(6) tenglama λ ga nisbatan m ta tenglamalardan iborat bo‘lib, B – matritsaning xos sonlaridan iborat bo‘lgan yechimlarga ega.
Turli xos sonlarga mos keluvchi xos vektorlar ortogonal, shuning uchun

matritsa normallangan xos vektorlardan tuzilgan bo‘lganligi uchun ham ortogonal matritsadir. Ortogonal matritsa koordinatalar o‘qini burishni anglatadi.
Shuning uchun, markazlashtirilgan boshlang‘ich ko‘rsatkichlarni ortogonal matritsa yordamida chiziqli almashtirish koordinatalar o‘qini burishni anglatadi:
, (7)
Hosil bo‘lgan yangi ko‘rsatkichlar korrelatsiyalanmagan bo‘ladi. Haqiqatan ham, (7) ga asosan ko‘rsatkichlar markazlashtirilgan bo‘lgani uchun

.
Demak,
, , .
Ortogonal almashtirish masofani saqlaydi, shu sababli
.
Demak, boshlang‘ich ko‘rsatkichlarni barcha dispersiyasi normallashmagan bosh komponentalar dispersiyasiga tengdir:
. (8)
Oxirgi tenglikdan ko‘rinadiki, boshlang‘ich ko‘rsatkichlarning barcha dispersiyasi xos sonlar yig‘indisiga teng ekan. Bosh komponentalar usulida xos sonlar tartiblanadi .
Amaliyotda katta xos sonlarga mos keluvchi bir necha bosh komponentalar bilan ish ko‘riladi. Bunga asos bo‘lib (8) tenglik xizmat qiladi, ya’ni boshlang‘ich ko‘rsatkichlarning dispersiyasi shu xos sonlar yig‘indisiga juda yaqin bo‘ladi.
Bosh komponentalarni normallashtiraylik yoki
-matritsa ko‘rinishida yozamiz. Bu yerda
.
Endi bo‘lganligi uchun .
Oxirgi tenglikdan boshlang‘ich ko‘rsatkichlarning umumiy faktorlarga ta’siri
, (9)
ko‘rinishda ekanligi kelib chiqadi.
Amaliyotda yuqorida chiqarilgan xulosalar va bajarilgan hisoblarni nazariy matematik kutilma va kovariatsiyalar matritsasi B uchun emas, balki tanlanmalar yordamida ular uchun qurilgan va statistik baholar uchun bajarish kerak. Buni quyidagi misolda ko’raylik.
Misol. 24 ta (n=24) toshbaqalarning tosh pansirlari ko’rsatkichlari: uzunligi X₁, eni X₂ va balandligi X₃ ni (mm larda) o’lchash natijasida quyidagi kovariatsion matrisa hosil qilingan bo’lsin,
.
(5) ga asosan quyidagi mos 3-darajali
.
tenglamani echib mos ravishda λ₁=680.40, λ₂=6.50 va λ₃=2.86 ekanligini aniqlaymiz. Topilgan xos sonlarni mos ravishda (6) sistemaga qo’yib, ularni noma’lum larga nisbatan hisoblaymiz:


, ,

U holda bosh komponentalar quyidagiga teng bo’ladi:

;
;
.