2 - te orem a. Agar butun koeffitsiyentli (1) tenglama , (p, q) =1,
ratsional ildizga ega bo’lsa, u holda p ozod hadning bo’luvchisi, q bosh had koeffitsiyenti a0 ning bo’luvchisi bo’ladi.
Isb o t i. Teoremaning shartiga ko‘ra , (p, q) =1 ( 1 ) ning ildizi bo‘lgani uchun
a + a + . . . + a
+ a
= 0 (3)
0 1
bo‘lib, bundan
n-1 n
a0pn+a1pn-1q+…..+an-1 pqn-1+anqn=0 (3‘) hosil bo‘ladi. Bu(3‘) dan
anqn=p(-a0pn-1-a1pn-2q- a2pn-3q2-………- an-1 qn-1) (4) hosil bo‘lib, bundan an ning p ga bo‘linishi ko‘rinib turibdi. Xuddi shunga o‘xshash, (4) dan a0 ning q ga bo‘linishini ko‘rsatish mumkin. Shu bilan teorema isbot qilindi.
Ta’rif. Ushbu
1
0
n
a x 2n1 a x 2n ... a
xn1 a
xn 3 a
n1
xn1 ... a
xn a xn1 a
xn2 ...
1
n
0
2
a1 x a0 0
a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+a1x+a0=0 (6)
ko‘rinishdagi tenglamalar qaytma tenglamalar deyiladi.
- t e o r e m a . Toq darajali qaytma tenglama x=- ildizga ega bo’ladi.
I s b o t i . Teoremaning shartiga ko‘ra (5) ni olamiz va uni quyidagicha
almashtiramiz:
a ( x2n1 2n1 ) a x( x2n1 2n1 ) ... a
xn ( x ) 0
(7)
1
0
n
Natijada x=- ni almashtirsak, u holda (7) ning chap tomoni nolga teng bo‘ladi. Shu bilan teorema isbot qilindi.
- t e o r e m a . Darajasi 2n bo’lgan qaytma tenglama C sonlar maydonida y =
x+ almashtirish orqali n-darajali tenglamaga keltirilib, n ta kvadrat tenglama
x
hosil bo’ladi.
I s b o t i . Teoremaning shartiga ko‘ra
1
0
n
a x2n a x2n1 ... a
xn a
n1
xn1 2 a
n2
xn2 ... na 0
(8)
n
a0 x
... an1 x an an1
x ... a1 xn1 a0 xn 0
hosil
bo‘ladi.So‘ngra,guruhlashdan so‘ng
a0 ( x
n
xn ) a1 (x
n1
n1
xn
) ... an 0
tenglamada y=x+
x
belgilashni kiritamiz. Bu yerda xn
n
, m N
xn
yig‘indi
y ga nisbatan fm(y) ni hosil qilishi ma‘lumdir. Endi m ga nisbatan matematik
induksiya usulini tatbiq qilamiz: m=1 bo‘lsin,u holda y=x+ bo‘lib,talab
x
bajariladi. m=2 bo‘lganda
2
x 2
x 2
y 2
2
bo‘ladi. m=k+l bo‘lganda
k 2
xk 2
yf k 1 ( y) fk ( y)
f k 2 ( y)
hosil bo‘lib,u y ga nisbatan n-
darajali tenglama bo‘ladi.Bu tenglama C da n ta yechimga ega ekanligidan uni
y1,y2,…,yn orqali ifodalasak, y1 = x+ ; y2= x+ ;… yn = x+ kvadrat
x x x
tenglamalarni hosil qilamiz. Bu tenglamalarning yechimlari (8) ning yechimlaridan iborat bo‘ladi. Shu bilan teorema isbotlandi.
1- misol. x7-2x6+3x5-x4-x3+3x2-2x+1=0 (9) tenglamani yeching.
Yechish. 3-teoremaga asosan (9) ( x+1)(x6-3x5+6x4-7x3+6x2-3x+1)=0 bo‘lib,
bundan x+1=0 yoki
(x3
1 ) 3(x2 1 ) 6(x 1 ) 7 0
larni hosil qilamiz.
x3 x2 x
y x 1
x
belgilanishiga ko‘ra
x 2 1
x 2
y 2 2,
x3 1
x3
y 3 3y
ekanligi
y3-3y2+3y-1=0 yoki (y-1)3=0 tenglamani beradi. Bundan
x 1 1
x
ga ko’ra x1=-1,
x =x =x = √ , x =x =x = √
natijalarni olamiz. Demak, C da yechim
2 3 4 5 6 7
{—1; √ } bo‘ladi.
Endi
xn=b (10)
ko‘rinishidagi ikki hadli tenglamani yechishni ko‘rib chiqaylik. Bunda ushbu hollar bo‘lishi mumkin:
n= 2 m - 1 bo‘lsin, u holda y = x 2m - 1 funksiya da monoton o‘suvchi bo‘lganligi uchun x 2m - 1 =b tenglamaning yechimi:
a) agar b> 0 bo‘lsa, √ ;
b) agar b=0 bo‘lsa, x = 0;
v) agar b< 0 bo‘lsa, √ bo‘ladi.
g) n= 2 m bo‘lsin, u holda y= x 2m funksiya A= (0; + )da qat‘iy monoton o‘sadi, B= (— ;0] da qat‘iy monoton kamayadi. Shuning uchun x 2m = b tenglamani A da va B da alohida yechamiz. A oraliqda: agar b>0 bo‘lsa, x1
√ ; b=0 bo‘lsa, x=0 ; b < 0 bo‘lsa, yechimga ega emas. B oraliqda esa: b >0
bo‘lsa, x2 = √ b <0 bo‘lsa, yechim yo‘q. Demak, x n = b tenglama uchun:
xn =1 ko‘rinishdagi tenglamani C da yechish uchun sonning trigonometrik shaklidan foydalanamiz,
2 - mi s o l . Ushbu tenglamani yeching:
x4+ 2x3+ 5x2+4x-12=0.
Y e c h i s h . Bir i n ch i us u l. Bu tenglamada an= 1 va a0=-12 bo‘lgani uchun a0 ning ±1, ±2, ±3, ±4,±6, ±12 bo‘luvchilarini yozib olamiz, so‘ngra Gorner sxemasi bo‘yicha tenglamaning ildizlari to‘plamini aniqlaymiz:
|
1
|
2
|
5
|
4
|
-12
|
1
|
1
|
3
|
8
|
12
|
0
|
-2
|
1
|
1
|
6
|
0
|
|
Demak, tenglamaning ildizlar to‘plami R da {1; -2}. So‘ngra
x4+ 2x3+ 5x2+4x-12= (x-1)(x+2)(x2+x+6)=0.
Ikkinchi us u l (ko’paytuvchilarga ajratish usuli):
x4+2x3+5x2+4x-12=( x4+2x3)+( 5x2+10x)-( 6x+12)= )(x+2)(x3+5x-6)=
=(x-1)(x+2)(x2+x+6)=0.
Bundan, tenglamaning ildizlar to‘plami { √ , x=1, x=-2.}
Kvadrat tenglama tushunchasi va uni yechish usullari
Ta’rif: Ushbu ax2+bx+с=0 ko'rinishdagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi, bunda x - o'zgaruvchi, a, b. c - berilgan sonlar ( а 0). Agar а 1 bo'lsa tenglama to’la kvadrat tenglama deyiladi. a, b, c sonlar kvadrat tenglamaning koeffitsiyentlari, c esa ozod had deyiladi.6
Kvadrat tenglamani ikkinchi darajali tenglama ham deb ataladi, chunki uning chap qismi ikkinchi darajali ko’phaddan iborat.
O’zgaruvchining kvadrat tenglamani to’g’ri sonli tenglikka aylantiradigan qiymatlari kvadrat tenglama ildizlari deyiladi.
Chala (to’liqmas) kvadrat tenglama. Agar
ax2+bx+c=0
kvadrat tenglamada b=0 yoki c=0 bo’lsa, bunday tenglama chala (to'liqmas) kvadrat tenglama deyiladi. Chala kvadrat tenglamalar:
1) aх2+с = 0; 2) ax2 + bx = 0; 3) aх2=0.
Bu turdagi tenglamalarning yechilishini qarab chiqamiz:
1) ax2+c = 0
x , agar c 0
bo’lsa,
1,2
a
ildizga
ega emas,agar c 0
a
bo’lsa,
x1 0,
2) ax2+bx=0 x(ax+b) = 0 b
x2 a ;
3) ax2=0 x2 = 0 [ x=0.
Hosil bo‘lgan tenglamaning о‘ng qismidagi kasrning maxraji musbat bo‘lganligi sababli uning ildizlari soni b2-4ac ifodaning ishorasi bilan bog‘liq. Bu ifoda ax2+bx+c=0 tenglamaning diskriminanti deyiladi. Uni D harfi bilan
Diskriminantga bog‘liq bo‘lgan uchta hol bo‘lishi mumkin. 1 . Agar D > 0 bo‘lsa, u holda
Shunday qilib, D>0 bo‘lsa, kvadrat tenglama ikkita haqiqiy x1 va x2, ildizlarga ega va ular
teng x1= x2
=
ikki ildizga ega ham deyiladi.
Agar D < 0 bo‘lsa, u holda
(
tenglamaning o'ng qismi manfiy bo‘ladi va u haqiqiy ildizga ega bo‘lmaydi.
0>
Dostları ilə paylaş: |