Mavzu: Aniq integral yordamida yoy uzunligini hisoblash. Reja: I kirish II asosiy qism

Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash


chiziqlar bilan chegaralangan figuraning OX o’qi atrofida ay lanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi
(7)
aniq integral bilan hisoblanadi.
chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi
(8)
formula bilan hisoblanadi.
Agar yuz jismning o’qqa perpendikulyar tekslik bilan kesishishidan hosil bo’lgan kesim bo’lib, kesmada uzluksiz funksiya bo’lsa, jismning hajmi

formula bilan hisoblanadi.
Agar chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o’qi atrofida ay lanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi

formula bilan hisoblanadi.
Agar va (bu yerda ) egri chiziqlar hamda to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figura o’qi atirofida aylansa, aylanish jismning hajmi

formula bo’yicha hisoblanadi.
Agar shu figuraning o’zi o’q atirofida aylansa aylanish jismning hajmi

formula bilan hisoblanadi.
Agar va egri chiziqlar va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figura o’qi atirofida aylansa, u holda aylanish jismining hajmi

formula bilan hisoblanadi.
Agar shu figuraning o’zi o’qi atirofida aylansa, u holda aylanish jismining mos hajmi ushbuga teng bo’ladi:

formula bilan hisoblanadi.

aniq integralni hisoblash talab etilsin funksiya kesmada uzluksiz kesmani nuqtalar orqali ta teng qismiy kesmalarga ajratamiz. Funksiyaning nuqtalaridagi qiymatlarini hisoblaymiz qismiy kesmalarning uzunligi kattalik integrallash qadami deyiladi. Bo’linish nuqtalaridan ordinatlarni o’tkazamiz. Ordinatlar oxirlarini to’g’ri chiziqlar bilan tutashtirib trapetsiyalar hosil qilamiz.
Aniq integralning taqribiy qiymati uchun, hosil bo’lgan trapetsiyalar yuzlarining yig’indisini olamiz. Bu holda

Shunday qilib, natijada

formulani olamiz. (1) formulaga trapetsiyalar formulasi deb ataladi. Bu formulada egri chiziqli trapetsiyalarning yuzlarini to’g’ri chiziqli trapetsiyalar yuzlari bilan taqriban almashtirdik. o’sib borishi bilan to’g’ri chiziqli trapetsiyalarning yuzi egri chiziqli trapetsiyalar yuzlariga cheksiz yaqinlashib boradi.
Bu taqribiy hisoblashda yo’l qo’yilgan absolyut xato .

ifodadan katta emasligini ko’rsatish mumkin, bunda ning kesmadagi eng katta qiymati.
kesmani ta juft miqdordagi teng qismlarga bo’lamiz. Uchta nuqtalar olib ulardan parabola o’tkazamiz. Bu parabola bilan funksiyaning kesmadagi grafigini almashtiramiz. Xuddi shunga o’xshash funksiyaning grafigini va boshqa kesmalarda ham almashtiramiz.
Shunday qilib, bu usulda berilgan egri chiziq bilan chegaralangan trapetsiyaning yuzini kesmalarda parabolalar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarining yig’indisi bilan almashtiriladi. Bunday egri chiziqli trapetsiya parabolik trapetsiya deyiladi.
Parabolik trapetsiyalar yuzlarini qo’shib,

Bu formula Simpson (parabolalar) formulasi deyiladi. Simpson formulasining absolyut xatosi dan katta bo’lmaydi, bunda funksiyaning kesmadagi eng katta qiymati. Xatolarni baholash ifodalaridan Ma’lumki kattalik kattalikka nisbatan tezroq o’sgani uchun Simpson formulasining xatoligi trapetsiyalar formulasi xatosiga nisbatan ancha tez kamayadi.
Bizgа ikkitа difеrеnsiаllаnuvchi u(x) vа v(x) funksiyalаr bеrilgаn bo`lsin. Bu funksiyalаr ko`pаytmаsi (uv) ning diffеrеnsiаlini tоpаylik. Bu diffеrеnsiаl quyidаgichааniqlаnаdi: d(uv)=udv+vdu
Buni ikki tоmоnini hаdmа-hаd intеgrаllаb, quyidаgini tоpаmiz:


Охirgi tоpilgаn ifоdа bo`lаklаb intеgrаllаsh fоrmulаsi dеyilаdi.
Bu fоrmulаni ko`llаb intеgrаl hisоblаgаndа ko`rinishdаgi intеgrаl, аnchа sоddа bo`lgаn ko`rinishdаgi intеgrаlgа kеltirilаdi.
Аgаr intеgrаl оstidа u=lnx funksiya, yoki ikkitа funksiyaning ko`pаytmаsi, hаmdа tеskаri trigоnоmеtrik funksiyalаr qаtnаshgаn bo`lsа,bundа bo`lаklаb intеgrаllаsh fоrmulаsi qo`llаnilаdi. Bu usul bilаn intеgrаllаgаndа yangi o`zgаruvchigа o`tishning hоjаti yo`q.
Umumаn аniqmаs intеgrаlni hisоblаgаndа tоpilgаn nаtijа yonigа o`zgаrmаs (S=const) ni qo`shib qo`yish shаrt. Аks hоldа intеgrаlning bittа qiymаti tоpilib, qоlgаnlаri tаshlаb yubоrilgаn bo`lаdi. Bu esа intеgrаllаshdа хаtоlikkа yo`l qo`yilgаn dеb hisоblаnаdi
1. Vintsimon prujinaning bir uchi mustakamlangan, ikkinchi uchiga esa kuch ta’sir etib prujinani qismoqda. Agar prujinaning qisilishi unga ta’sir etayotgan kuchga proporsional bo’lsa, prujinani birlikka qisish uchun kuchni bajargan ishini toping.
Yechish: Agar kuch ta’sirida prujinaning qisilish miqdorini x deb olsak, u holda bo’ladi. Bunda proporsionallik koeffitsienti (qisilish koeffitsienti). Bajarilgan ishni topish formulasidan foydalanamiz:

2. Tezligi qonun bo’yicha o’zgaradigan notekis harakatda vaqt oralig’ida bosib o’tilgan S masofa topilsin.
Yechish: formuladan foydalanamiz. Demak,


o’qining yuqorisida joylashgan yarim aylana og’irlik markazining koordinatalari topilsin.
Yechish: Og’irlik markazining ordinatasini topamiz.
, , , ,

bo'ladi. Chunki yarim aylana o’qqa nisbatan simmetrik joylashgan.
4. parabolaning to’g’ri chiziq bilan kesishishidan hosil bo’lgan segmentning og’irlik markazi koordinatalari topilsin.
Yechish: Masalaning shartidan va Shuning uchun

Segment o’qiga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun bo’ladi.
5. Asosi ga va balandligi ga teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchakning asosiga nisbatan inersiya momenti topilsin.
Yechish: To’g’ri to’rtburchakda uning asosidan masofada joylashgan va kengligi bo’lgan elementar polosa ajratamiz. Bu polosaning massasi shu polosaning yuziga, ya’ni ga teng.
Bundan tashqari,

1. Jism m/s tezlik bilan harakatlanmoqda. Jismning harakat boshlangandan keyingi 10 sek. davomida bosib o’tgan yo’li topilsin.
Javob: 23,7.
2. Moddiy nuqtaning harakat tezligi m/s formula yordamida aniqlanadi. Nuqtaning dastlabki 4 sek davomidagi bosib o’tgan yo’li topilsin.
Javob: 244m.
3. Massasi ga teng bo’lgan jismni yerdan balandlikka ko’tarish uchun sarf qilish kerak bo’lgan ish aniqlansin.
Ko’rsatma: Yer markazidan x masofada markazga tortish kuchi F ushbu proporsiyadan aniqlanadi. Bunda yer sharining radiusi.
Javob:
4. kuch, prujinani ga cho’zishi uchun qancha ish bajarishi kerak ?
Javob: 24 j
5. va chiziqlar bilan chegaralangan to’g’ri to’rtburchakning va o’qlarga nisbatan inersiya momentari topilsin.
Ko’rsatma : To’g’ri to’rtburchakni gorizontal yuzlarga ajratib, har bir yuzni undan o’qqacha bo’lgan masofa kvadratiga, ya’ni ga ko’paytiramiz. Ko’paytmalarni qo’shib limitga o’tsak, quyidagini hosil qilamiz:

Shunga o’xshash
Javob: .
6. va chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakning va o’qlarga nisbatan statik momenti va og’irlik markazining koordinatalari topilsin.
Ko’rsatma: Statik momentlar quyidagilardan iborat :

og’irlik markazining koordinatalari:

Bunda shaklning yuzi.
Javob:
7. aylananing birinchi chorakda yotuvchi yoyining o’qiga nisbatan inersia momenti topilsin.
Javob: 0,25 .
8. parabola va to’ri chiziq bilan chegaralangan shaklning o’qiga nisbatan inersia momenti topilsin.
Javob: .
9. parabolani dan gacha bo’lgan yoyning va o’qlarga nisbatan statik momentlari topilsin.
Javob :
10. zanjir chiziqning nuqtadan nuqtagacha bo’lgan yoyi og’irlik markazining koordinatalari topilsin.
Javob: ;
11. ellips va aylananing kesishishidan hosil bo’lgan shaklning birinchi chorakdagi qismi og’irlik markazining koordinatalari topilsin.
Javob:

XULOSA
Xulosa o’rnida shuni aytish joizki aniq integralni bizning xayotimiz uchun zarur shart sharoitlarn yaratib bermoqda. Xususan aniq integralni qadim zamonlardan buyon odamlar ekin maydoni yuzalarini o`lchash uchun ekin maydonini kichik to`rtburchaklarga ajratib, so`ngra ularning yuzalarini qo`shib maydon yuzi kattaligini taqribiy topishgan. Xuddi shu usulni Arximed geometric figuralarni yuzasi va hajmini topishda qo`llagan. Nyuton barcha fizikaviy hodisalar differensiallash va integrallash amallarining ketma-ket takrorlanish natijasida ro`y berishini kuzatadi. Shu prinsipni qo`llab ko`pgina natijalarga erishadi. Shu sababli ham integral va differensial tushunchalari nyuton nomi bilan bo`g`liq.

Integral tushunchasi matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarning eng kuchli quroli hisoblanadi. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzlarni, egri chiziq yoylari va uzunliklarini, hajmlarni, ishlarni, tezliklarni, yo’llarni, inersiya momentlarini va hokazolarni hisoblashga ishlarining hammasi integral hisoblashga keltiriladi. Aniq integralning tatbiq doirasi kengdir. Jumladan, yoy uzunligi, tekis shaklning yuzini, o‘zgaruvchan kuchning bajargan ishini, aylanma jismning yon sirtini, jismning og‘irlik markazini va boshqalarni toppish masalalari aniq integral yordamida hal etiladi. Undan keyin integralni hayotdagi boshqa sohalarga tatbiq etish mumkin va bu hozirda keng ko‘lamda qo‘llanadi.
Aniq integral yordamida yoy uzunligini hisoblashning muhim sinflaridan biri Bernulli differensial tenglamasi va uni yechishda muhim rol o`ynaydigan birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishni turli usullarini o`rganish muhim ahamiyatga egadir.
Kers ishida chiziqli tenglamalarning yechishning Eyler- Bernulli va Lagranj usullari bayon etiladi va bu usullar konkret misollarni yechishda tadbiq etiladi.
Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamasini yechimini mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremaning isboti keltiriladi, shuningdek bu tenglamaning maxsus yechimi masalasi ham o`rganiladi.
Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamasiga keltirib yechiladigan tenglamalarning sinflari (Darbu, Yakobi va Rikkate differensial tenglamalari) o`rganiladi va bu hollarga doir konkret misollarni yechish ko`rsatiladi.
Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamalariga keltirib yechiladigan fizikayiy masala (argonning sirpanishi haqida masala ) o`rganiladi va uni yechishi bayon etiladi.