Mavzu: Aniq integral yordamida yoy uzunligini hisoblash. Reja: I kirish II asosiy qism

Egri chiziq egriligi va uni hisoblash
Bizga regulyar g –egri chiziq va unga tegishli nuqta berilgan bo‘lsin. Berilgan nuqtadagi egrilik tushunchasini kiritib, uni hisoblash formulasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun g – egri chiziqda ga yaqin bo‘lgan nuqtani olib, bu nuqtalardan o‘tuvchi urinmalar orasidagi burchakni bilan, yoy uzunligini bilan belgilaylik. Ravshanki, nuqta ga intilganda Dj va miqdorlar nolga intiladi. Ammo ifoda nimaga intili­shini oldindan ayta olmaymiz.
Ta’rif. CHiziqdagi nuqta ga intilganda ifodaning limiti mavjud bo‘lsa, u chiziqning nuqtadagi egriligi deb ataladi.
Teorema-12: Ikki marta differensiallanuvchi regulyar egri chiziq uchun mavjud. Agar chiziq tenglama bilan tabiiy parametr yordamida berilgan bo‘lsa, tenglik o‘rinlidir. Bu erda tabiiy parametrning ga mos keluvchi kiymatdir.

CHizma-10 CHizma-11
Isbot. Faraz qilaylik, egri chiziq tenglama bilan tabiiy parametr yordamida berilgan, , vektorlar mos ravishda va nuqtalarning radius vektorlari bo‘lsin. SHunda burchak va vektorlar orasidagi burchakka teng.
SHuning uchun . Bu tenglikdan,

kelib chiqadi. Bu tenglikda da limitga o‘tsak, ni hosil qilamiz.
Endi ixtiyoriy parametr uchun egrilikni hisoblash formulasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun tenglikda ni ning funksiyasi sifatida qarab, ikkala tomonini bo‘yicha differensial­laylik. SHunda ni hosil qilamiz. Demak, .
Endi bu tenglikni bo‘yicha differensiallay­miz va

ni hosil qilamiz. Bu tenglikni ikkala tomonini ga bo‘lib ni olamiz. Endi ikkala tomonini kvadratga oshirib,

tenglikni hosil qilamiz.
Bundan esa kelib chiqadi. ni hisobga olib va ko‘rinishda yozib ixtiyoriy parametr uchun egrilikni hisoblash formulasini olamiz.
Agar bo‘lsa, formula

ko‘rinishiga keladi. Agar egri chiziq funksiyani grafigi bo‘lsa, egrilik formulasi

ko‘rinishga keladi.
Endi, hamma nuqtalarida egriligi nolga teng bo‘ladigan chiziqlarni topaylik. Ikki marta differensiallanuvchi egri chiziq tabiiy para­metr yordamida tenglama yordamida berilgan bo‘lsa, uning egrili­gi formula bo‘yicha hisoblanadi. Agar bo‘lsa, bo‘ladi. Demak, va bo‘lib, –o‘zgar­mas vektor­lardir. Demak, egri chiziqning hamma nuqtalarida egriligi nolga teng bo‘lsa, u yoki to‘g‘ri chiziq, yoki to‘g‘ri chiziqning ochiq kesmasidir. Albatta, bu tasdiqning teskarisi ham to‘g‘ridir (isbotlang).

3.