Mavzu: Aniq integral yordamida yoy uzunligini hisoblash. Reja: I kirish II asosiy qism

Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash

To’g’ri burchakli koordinatlar sistemasida kesmada silliq (ya’ni hosila uzluksiz) bo’lsa, bu egri chiziq yoyining uzunligi
(5)
formula yordamida hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik tenglama

Parametrik tenglamalar bilan berilgan bo’lsa, bu egri chiziqning parametrning monoton o’zgarishiga mos yoyning uzunligi bilan berilgan bo’lsa, yoy uzunligi

aniq integral bilan hisoblanadi.
Agar silliq egri chiziq qutb koordinatalarida tenglama bilan berilgan bo’lsa, yoy uzunligi
(6)
formula bilan hisoblanadi.
Agar va bo‘lsa, ning nuqtalarga mos keluvchi nuqtalari bilan chegaralangan yoyi uzunligi tushunchasini kiritamiz. Buning uchun kesmani ta qismga ajratuvchi nuqtalarni olib, ularning chiziqdagi obrazlarini bilan belgilaylik. Uchlari nuqtalarda bo‘lgan siniq chiziqni chiziqqa ichki chizilgan siniq chiziq deb ataymiz. Agar ni o‘z ichiga oluvchi birorta yoy uchun unga ichki chizilgan siniq chiziqlar uzunliklari yuqoridan tekis chegaralangan bo‘lsa, γ egri chiziq nuqta atrofida to‘g‘rilanuvchi deyiladi.

f(b)

CHizma-9

Teorema-11. Regulyar egri chiziq o‘ziga tegishli har qanday nuqta atrofida to‘g‘rilanuvchidir.
Isbot. Elementar egri chiziq,
,
tenglama bilan berilgan bo‘lsin va parametrning ga mos keluvchi qiymati uchun munosabat bajarilsin.
Bu erda, ga ichki chizilgan siniq chiziq ning uchlari nuqtalarning obrazlari bo‘lib, bo‘lsin, qulaylik uchun belgilashlar­ni qabul qilib, ning uzunligini yuqoridan baholaylik.
Siniq chiziqning nuqtalarga mos keluvchi kesmasi uzun­ligi teng, siniq chiziq uzunligi ga teng bo‘la­di, agar bo‘lsa, ni hisobga olib ni hosil qilamiz.
Bu erda tengsizlik funksiyaning da uzluksiz­ligidan kelib chiqadi. Demak, parametrning va qiymatlarga mos keluvchi nuqtalar bilan chegaralangan yoyga ichki chizilgan ixtiyoriy siniq chiziq uzunligi son bilan chegaralangan.
Endi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash formulasini keltirib chiqaramiz. ning nuqtalarga mos keluvchi nuqtalarini bilan belgilab, yoyning uzunligi sifatida bu yoyga ichki chizilgan siniq chiziqlar uzunliklarining yuqori chegarasini qabul qilamiz.
YUqoridagi teoremaga ko‘ra yoy uzunligi chegaralangan. Endi bo‘lib, siniq chiziqning uzunligi yoy uzunligidan ga farq qilsin.
Agar ning uchlari nuqtalarning obrazlari bo‘lsa, shart bajarilsin deb talab qilamiz. Lekin bu shart bajarilmasa, ni shunday siniq chiziq bilan almashtiramizki, ning uchlari ichida ning uchlari ham bor, lekin uchlari proobrazlari uchun tengsizlik bajariladi. ning uzunligi uzunligidan kichik bo‘lmaganligi uchun uning uzunligi ham uzunligidan dan kichik songa farq qiladi.
Demak, berilgan sonlar uchun uzunligi yoy uzunligidan dan kichik songa farq qiladi va munosabat bajariladi deb faraz qilishimiz umumiylikni chegaralamaydi.
Endi uzunligining ga tengligini hisobga olib,


tenglikni yozib, uning hadlarini da baholaymiz.
Bu tenglikning o‘ng tarafidagi ikkinchi had integral ta’rifiga ko‘ra da nolga intiladi. Uchinchi had uchun esa

tenglikni hisobga olsak,

tengsizlikni hosil qilamiz.
Bu tengsizlikning o‘ng tarafi uzluksiz bo‘lganligi uchun da nolga intiladi.
SHunday qilib, integral siniq chiziq uzunligidan berilgan ixtiyoriy sondan kichik songa farq qiladi. uzunligi esa yoy uzunlikdan dan kichik songa farq qiladi. Berilgan ning ixtiyoriy tanlanganligidan yoy uzunligi
integralga tengligi kelib chiqadi.
SHunday qilib, agar egri chiziq,

parametrik tenglamalar yordamida berilsa, yoy uzunligi

formula bo‘yicha hisoblanadi. Agar egri chiziq tekislikda funksiyaning grafigi bo‘lsa, yoy uzunligi
ga tengdir.
YOy uzunligini egri chiziqni parametrlash uchun ham ishlatish mumkin. Agar bo‘lsa, ning va ga mos keluvchi nuqtalari bilan chegaralangan yoy uzunligini bilan belgilab,

qoida bo‘yicha funksiyasini aniqlasak, bu funksiya monoton o‘suvchi funksiya bo‘ladi. CHunki uning hosilasi ga teng va demak, har doim noldan katta. Agar ga teskari funksiyani bilan belgilasak va da o‘rniga qo‘ysak,

tenglikni olamiz.
Hosil bo‘lgan tenglama ning tabiiy parametr yordamida aniqlangan tenglamasi, esa tabiiy parametr deyiladi.
Tabiiy parametrning muhimligi shundan iboratki, urinma vektor uzunligi har doim birga tengdir.
Haqiqatdan ham,
va
Bundan keyin, belgi ning tabiiy parametr bo‘yicha hosilasini bildiradi. Tabiiy parametrini esa bilan belgilaymiz.