Mavzu: Aniq integrallar

Mavzu: Aniq integrallar


kesmada f(x) funksiya aniqlangan bo’lsin. kesmani nuqtalar bilan n ta bo’lakka ajratamiz. Har bir kesmadan ixtiyoriy nuqta olib

yig’indini tuzamiz. Bunda

ko’rinishidagi yig’indi integral yig’indi deyiladi. Uning max dagi limiti mavjud va chekli bo’lsa, unga f(x) funksiyaning a dan b gacha aniq integrali deyiladi va u

ko’rinishida yoziladi.
Bu holda f(x) funksiya kesmada integrallanuvchi deyiladi. f(x) funksiyaning integrallanuvchi bo’lishi uchun u kesmada uzluksiz bo’lishi yoki chekli sondagi uzilishlarga ega bo’lishi kifoyadir.
Aniq integral quyidagi bir qator xossalarga ega:
1. ;
. , agar bo’lsa;
;
.
Agar kesmada va integrallanuvchi bo’lsa, u holda
tengsizlik o’rinli bo’ladi;
6. Agar kesmada va funksiyalar integrallanuvchi hamda bo’lsa, u holda ularning aniq integrallari uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Agar va f(x) funksiya , kesmalarda integrallanuvchi bo’lsa, unda kesmada ham integrallanuvchi va tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar kesmada (a Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo’lsa, u holda f(x) funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi:
10. Agar f(x) funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda bu kesmada shunday 𝜉 nuqta mavjud bo’ladiki, unda

tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar F(x) uzluksiz f(x) funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglik aniq integralni hisoblashning Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi.
Ba’zi aniq integrallarni hisoblashda bo’laklab integrallash formulasi deb ataluvchi

formuladan foydalaniladi.
Berilgan uzluksiz funkisiyadan kesma bo’yicha olingan

aniq integiralni ba’zi hollarda biror differensiallanuvchi funksiya orqali “eski” x o’zgaruvchidan “yangi” t o’zgaruchiga o’tish usulida foydalanib hisoblash mumkin bo’ladi. Bunda quyidagi shartlar qo’yiladi:
1. (
2. (t) va funksiyalar t [ ] kesmada uzluksiz:
3. [ murakkab funksiya [ kesmada aniqlangan va uzluksiz.
Bu shartlarda ushbu formula o’rinli bo’ladi:

Bu formula aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.


Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. integral hisoblansin:
Yechish:
integral hisoblansin.
Yechish:
3. ni hisoblang.
Yechish:


4. integral hisoblansin:
Yechish: Endi yangi chegaralarni aniqlaymiz: da dan da dan kelib chiqadi.
Topilganlarni berilgan integralga qo’yamiz:

.
integral hisoblansin:
: almashtirish qilamiz: U holda bo’ladi. Bundan tashqari yangi o’zgaruvchi ning qiymatlarini aniqlaymiz. da va da Ularni e’tiborga olsak,

6. integral hisoblansin.
Yechish: almashtirish qilamiz. U holda
bo’lganda bo’lib, undan kelib chiqadi. bo’lganda bo’lib, undan kelib chiqadi. Demak,


7. integral hisoblansin.
Yechish: Bu integralni bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib integrallaymiz.
8. integral hisoblansin.
Yechish:


Mustaqil yechish uchun topshiriqlar
1. Quyidagi integrallar hisoblansin.
1) ;
5)
Javob:
2. Quyidagi integrallarni bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib hisoblang.



Javob:

3. Quyidagi integrallarni o’zgaruvchini almashtirish formulasidan foydalanib hisoblang.



Javob: 1)