Mavzu: Burchak bissektrisasi teoremasi Ushbu diagrammada bd: dc = ab: ac. Teorema

Mavzu:Burchak bissektrisasi teoremasi



Ushbu diagrammada BD: DC = AB: AC.
Teorema
Tepadagi chizmadaABC uchburchakberilgan . uchburchakning A uchidan uning qarshisidagi bc tomonning D nuqtasiga AD kesma o`kazamiz. AD kesma BAC ni teng ikkiga bo`ladi. Burchak bissektrisasi teoremasi, uzunlikning nisbati deyiladi BD tomon uzunligining DC tomon uzunligiga nisbati AB tomonning uzunligining AC tomon uzunligiga nisbatiga teng

Burchak bissektrisasi teoremasi odatda burchak bissektrisalari va yon uzunliklari ma'lum bo'lganda ishlatiladi. U hisoblashda yoki dalilda ishlatilishi mumkin.
Teoremaning bevosita natijasi shundan iboratki, teng qirrali uchburchakning tepa burchagi burchagi bissektrisasi ham qarama-qarshi tomonni ikkiga bo'linadi.


Isbot
Isbot 1
Yuqoridagi diagrammada, dan foydalaning sinuslar qonuni uchburchaklar ustida ABD va ACD:
Burchaklar DA BDA va C ADC chiziqli juftlikni hosil qiling, ya'ni ular qo'shni qo'shimcha burchaklar. Qo'shimcha burchaklar teng sinuslarga ega bo'lgani uchun,

Burchaklar ∠ YOMON va ∠ DAC tengdir. Shuning uchun tenglamalarning o'ng tomonlari (1) va (2) teng, shuning uchun ularning chap tomonlari ham teng bo'lishi kerak.

bu burchak bissektrisasi teoremasi.
Agar burchaklar bo'lsa ∠ YOMON va ∠ DAC tengsiz, tenglamalar (1) va (2) quyidagi tarzda qayta yozilishi mumkin:


Burchaklar DA BDA va C ADC hali ham qo'shimcha, shuning uchun ushbu tenglamalarning o'ng tomonlari baribir teng, shuning uchun biz quyidagilarni olamiz:

bu teoremaning "umumlashtirilgan" versiyasini qayta tuzad


Isbot 2

Ruxsat bering D. chiziqda nuqta bo'ling Miloddan avvalgi, ga teng emas B yoki C va shunday Mil emas balandlik uchburchak ABC.
Ruxsat bering B₁ uchburchakda balandlikning asosi (oyog'i) bo'ling ABD orqali B va ruxsat bering C₁ uchburchakda balandlikning asosi bo'ling ACD orqali C. Keyin, agar D. qat'iy ravishda o'rtasida B va C, bittasi va bittasi B₁ yoki C₁ uchburchak ichida joylashgan ABC va buni taxmin qilish mumkin umumiylikni yo'qotmasdan bu B₁ qiladi. Ushbu holat qo'shni diagrammada tasvirlangan. Agar D. segmentdan tashqarida joylashgan Miloddan avvalgi, keyin ham B₁ na C₁ uchburchak ichida yotadi.
∠ JB₁B va ∠ doimiy oqim₁C to'g'ri burchaklar, burchaklar esa . B₁JB va . C₁DC agar mos kelsa D. segmentda yotadi Miloddan avvalgi (ya'ni, o'rtasida B va C) va ular ko'rib chiqilayotgan boshqa holatlarda bir xil, shuning uchun uchburchaklar JB₁B va DC₁C o'xshash (AAA), bu shuni anglatadiki

Agar D. bu balandlik poyasi, demak,

va umumlashtirilgan shakl quyidagicha keladi.
Isbot 3


Ikkala uchburchak maydonlarining nisbatiga qarab tezkor isbotni olish mumkin BADva CAD , ular ichida bissektrisa tomonidan hosil qilingan A. Ushbu maydonlarni ikki marta hisoblash turli xil formulalar, anavi 0,5gh taglik bilan g va balandlik h va 0,5absin(¥) yon tomonlari bilan a, b va ularning yopiq burchagi ¥, kerakli natijani beradi.
Ruxsat bering h uchburchaklar asosini balandligini belgilang BC va α burchakning yarmi bo'lsin A. Keyin

va

hosil

Tashqi burchak bissektrisalari

tashqi burchak bisektorlari (nuqta qizil):
D, E, F nuqtalari kollinear bo'lib, nisbatlar uchun quyidagi tenglamalar mavjud:

Teng tomonli bo'lmagan uchburchakdagi tashqi burchak bissektrisalari uchun uchburchak tomonlarining uzunliklari nisbati uchun o'xshash tenglamalar mavjud. Aniqrog'i tashqi burchak bissektrisasi ichida bo'lsa A kengaytirilgan tomonni kesib o'tadi BC kesma yotgan to`g`ri chiziqda E, tashqi burchakbissektrisasini B kengaytirilgan tomonni kesib o'tadi AC kesma yotgan to`g`ri chiziqda D va tashqi burchak bissektrisasini C kengaytirilgan tomonni kesib o'tadi AB kesma yotgan to`g`ri chiziqda F, keyin quyidagi tenglamalar bajariladi:^[1]

, , 

Tashqi burchak bissektrisalari va kengaytirilgan uchburchak tomonlari orasidagi kesishgan uchta nuqta D, E va F kollinear, ya'ni ular umumiy chiziqda yotadi.^[2]

Tarix
Burchak bissektrisasi teoremasi VI kitobning 3-taklifi sifatida paydo bo'ladi Evklid elementlari. Ga binoan Xit (1956), p. 197 (2-jild)), tashqi burchak bissektrisasi uchun mos keladigan bayonot berilgan Robert Simson kim buni ta'kidladi Pappus dalilsiz ushbu natijani oldi. Xit buni davom ettiradi Augustus De Morgan ikkita bayonotni quyidagicha birlashtirishni taklif qildi:
Agar uchburchakning burchagi qarama-qarshi tomonni yoki hosil bo'lgan qarama-qarshi tomonni kesuvchi to'g'ri chiziq orqali ichki yoki tashqi tomonga bo'linadigan bo'lsa, u tomonning segmentlari uchburchakning boshqa tomonlari bilan bir xil nisbatga ega bo'ladi; va agar uchburchakning ichki tomoni yoki tashqi tomoni uning segmentlari uchburchakning boshqa tomonlari bilan bir xil nisbatga ega bo'lishi uchun bo'linadigan bo'lsa, kesma nuqtasidan tortib to birinchi ko'rsatilgan tomonga qarama-qarshi bo'lgan burchakli nuqtaga to'g'ri chiziq tortiladi. ichki yoki tashqi burchakni shu burchak nuqtasida ikkiga bo'linadi.