Mavzu: Karrali qatorlar va ularning yaqinlashish tushunchasi

S = a / (1 – r),

• 
  Bu yerda S qator yigʻindisi, a birinchi had va r umumiy nisbatdir.
  

Bu holda, a = ½ va r = ½. Formulaga ulab, biz quyidagilarni olamiz:

S = (1/2) / (1 – ½) = 1.

• 
  Shuning uchun, bu qator yig’indisi 1 ga yaqinlashadi. Bu degani, agar qatorning cheksiz ko’p a’zolarini qo’shsak, umumiy yig’indi 1 ga yaqinlashadi. Shuningdek, bu yaqinlashishni juda ko’p sonli hadlarni va sonlarni qo’shish orqali tekshirishimiz mumkin. Koʻproq shartlar qoʻshganimiz sari yigʻindi 1 ga yaqinlashib borishini kuzatish.
  

Uzoqlashuvchi qatorlarni jamlash (E. Chezaro, N. Abel usuli).

Keling, {a_n} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... qatorini koʻrib chiqamiz. Ushbu qator odatiy ma'noda yaqinlashmaydi, chunki qisman yig'indilar ma'lum chegaraga yaqinlashmasdan 0 va 1 o'rtasida almashadi. Biroq, bu farqli qatorga yig‘indi belgilash uchun Abelning yig‘indisi Sezaroni qo‘llashimiz mumkin.

N cheksizlikka yaqinlashganda {s_n} chegarasini olib, biz quyidagilarga erishamiz:

lim_n->infinity s_n = ½

• 
  Shuning uchun biz Sezaro, Abelning {a_n} qator yig’indisi ½ ga teng deymiz. Bu natija hayratlanarli tuyulishi mumkin, chunki qatorning qisman yigʻindilari 0 va 1 oʻrtasida almashinadi, biroq bu Sezaro usuli maʼlum divergent qatorlarga chekli qiymat belgilashi mumkinligini koʻrsatadi.
  

Birinchidan, {a_n} ning birinchi n ta qisman yigʻindisining arifmetik oʻrtasini olib, {s_n} ketma-ketligini tuzamiz. Ya’ni, s_n = (a_1 + a_2 + ... + a_n)/n. Masalan, {s_n} ning birinchi bir necha sharti:

s_1 = 1/1 = 1

s_2 = (1-1)/2 = 0

s_3 = (1-1+1)/3 = 1/3

s_4 = (1-1+1-1)/4 = 0

• 
  va hokazo.
  

Cheksiz koʻpaytmalar

• 
  Cheksiz ko'paytirish - bu cheksiz sonli hadlar mahsulotini olishni o'z ichiga olgan matematik tushuncha. Bu cheksiz qatorlar kontseptsiyasiga o'xshaydi, bu erda biz cheksiz sonli atamalar yig'indisini olamiz. Cheksiz ko'paytirishdan ma'lum matematik funktsiyalarni aniqlash yoki cheksiz mahsulotlarning xususiyatlarini o'rganish uchun foydalanish mumkin.
  

• 
  Cheksiz qatorlarga o’xshab, cheksiz mahsulotning yaqinlashuvi alohida atamalarning xatti-harakatlariga bog’liq. Agar hadlar 1 ga yaqinlashsa, u holda cheksiz ko’paytma yaqinlashadi; aks holda, u ajralib chiqadi. Cheksiz mahsulotning yaqinlashuvi yoki divergensiyasini taqqoslash testi, nisbat testi va ildiz testi kabi turli yaqinlashuv testlari yordamida oʻrganish mumkin.