Mavzu: Matritsa ko‘rinishdagi chiziqli tenglamalar sistemasi. Koshi integral for­mu­lasi. Eksponensial matritsa. Matritsali differensial tenglamalar­ni integrallash. Reja

Mavzu: Matritsa ko‘rinishdagi chiziqli tenglamalar sistemasi. Koshi integral for­mu­lasi. Eksponensial matritsa. Matritsali differensial tenglamalar­ni integrallash.
Reja

1. 
   Chiziqli bir jinsli o‘zgarmas koefitsentli tenglama
   
2. 
   Chiziqli bo‘lmagan o‘zgarmas koeffitsentli tenglama
   
3. 
   Xarakteristik tenglama
   
4. 
   Misollar
   

Tayanch so’z va iboralar:.chiziqli tenglama, normal sistema , chiziqli sistema matritsa, vektor-matritsa, bir jinsli tenglama, trival yechim, xarakteristik tenglama.

1. 
   Agar normal (dinamik) sistemada f₁,f₂,…..f_m funksiyalar izlanayotgan funksiyalarga nisbatan chiziqli bo‘lsa, u holda bunday tenglamalar sistemasi chiziqli sistema deyiladi, ya'ni normal sistema:
   

(1)
Bu ta’rifdan chiziqli sistema uchun ushbu ko‘rinishda bo‘lishi kelib chiqadi:
(2)
bu yerda barcha a_ik koeffitsentlar va bk(i,kq1,2,…n) ozod hadlar, umuman aytganda, x ning ixtiyoriy funksiyalaridir. Agar vektor-matritsa belgilaridan foydalansak, (2) chiziqli sistemani oddiy va qisqacha yozish mumkin. Komponentlari u₁(x)u₂(x),…,y_n(x) bo‘lgan u(_)(x) vektorni kiritamiz va uni ustun matritsa shaklida, ya'ni n ta satrli va 1ta ustunli matritsa shaklida yozamiz:

Bunday vektorning hosilasi elementlari dastlabki vektor elementlarining hosilalaridaan iborat bo‘lgan yangi ustun matritsadan iborat deb aytishimiz tabiiydir:

U holda komponentlari (2) sistemani ozod hadlaridan iborat vektorni v(x) orqali, sistema koeffitsentlari matritsasini esa A(x) orqali belgilasak:

U holda (2)sistemani vektorlar qatnashgan
qA(x)y(_)(x)Qb(_)(x) (3)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglik differensial tenglamalar chiziqli sistemasining vektor-matritsa shaklidagi yozuvi deyiladi:
Agar (1)da A(x)qconst bo‘lsa, u holda bu tenglamani (o‘zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglama)
q A(x)y(_)(x)Qb(_)(x) (4)
Tenglamani chiziqli bir jinsli bo‘lmagan o‘zgarmas koeffitsentli tenglama deyiladi. Agar (4) da b(_)(x)q0(_) bo‘lsa, u holda
q Ay(_) (5)
chiziqli bir jinsli o‘zgarmas koeffitsentli tenglama deyiladi. Biz quyida (4) ko‘rinishida vektor-matritsali tenglamalarni integrallash (yechish) bilana shug‘ullanamiz. Avval (5)bir jinsli tenglamalar sistemasini yechimini
(6)
ko‘rinishida izlaymiz, bunda α(_)q biror yoki (6) koordinatalar ko‘rinishida y₁qα₁e^kx, y2qα₂ekx,…,y_nqα_ne_kx (6)
Bu funksiyalardan hosila olib (5) ga qo‘yamiz: qαk e^kx, αke^kxqe^kx Aα/:e^kx
yoki αkqAα. Bundan (A-kE)αq0 (7) bo‘ladi, ye-birlik matritsa. (7) vektor-matritsa tenglama koordinatalar ko‘rinishida quyidagicha bo‘ladi:
(7)
(5) bir jinsli tenglamaning uq0 trival yechimi bor ekani ravshan. Shuning uchun bu tenglamaning trivial (u≠0) bo‘lmagan yechimini izlaymiz, ya'ni (6) daα≠0(yoki α₁²Q…Qα_n²≠0) bo‘lsin.
Shunday qilib, (7)yoki (7)α₁,α₂,…..,α_n larga nibatan chiziqli bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat. Bu sistema trivial bo‘lmagan (α(_)≠0) yechimlarga ega bo‘lishi uchun bu sistemaning determinanti 0 ga teng bo‘lish zarur va yetarlidir (bir jinsli algebraik tenglama to‘g‘risidagi teoremaga ko‘ra ). Bu shart quyidagidan iborat:
A-Keq0 (8)
( A-Ke )- bu, A-Ke matritsaning determinanti yoki koordinatalar ko‘rinishida
(8¹)
xarakteristik tenglama.
Bu k-ga nisbatan n-chi tartibli algebraik tenglama bo‘lib, uni (5) tenglamaga mos xarakteristik tenglama deyiladi. (8) tenglama algebraik asosiy teoremasiga ko‘ra n ta ildizga ega. Biz a_ij elementlar haqiqiy bo‘lgan holni ko‘ramiz. Bunda ildizlar ichida komplekslari bo‘lsa, ularga qo‘shma bo‘lgan kompleks sonlar ham ildiz bo‘ladi. Har ildizga mos (6)((6)) yechimni topish lozim. (8) tenglama o‘zaro farqli ildizlari nta bo‘lishi ham mumkin. Shu hollarni alohida ko‘ramiz. 1)Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil.
Bu holda har bir kqkj, jq1,n ni (7) tenglamaga qo‘yib mos α ^(j) vektorni topamiz. Shu bilan n ta , jq1,n yechimni topamiz. Bu yechimlar chiziqli erkli, chunki