Mavzu: Qaytma va yuqori darajali tenglamalar va ularni yechish metodikasi

II-BOB.Yuqori darajali tenglamalarning xususiy hollari

1-§. Kvadrat tenglama tushunchasi va uni yechish usullari
Ta’rif: Ushbu ax²+bx+с=0 ko'rinishdagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi, bunda x - o'zgaruvchi, a, b. c - berilgan sonlar (а _ 0). Agar а _1 bo'lsa tenglama to‗la kvadrat tenglama deyiladi. a, b, c sonlar kvadrat tenglamaning koeffitsiyentlari, c esa ozod had deyiladi.⁶
Kvadrat tenglamani ikkinchi darajali tenglama ham deb ataladi, chunki uning chap qismi ikkinchi darajali ko‗phaddan iborat.
O‗zgaruvchining kvadrat tenglamani to‗g‗ri sonli tenglikka aylantiradigan qiymatlari kvadrat tenglama ildizlari deyiladi.
Chala (to’liqmas) kvadrat tenglama. Agar
ax²+bx+c=0
kvadrat tenglamada b=0 yoki c=0 bo‗lsa, bunday tenglama chala (to'liqmas) kvadrat tenglama deyiladi. Chala kvadrat tenglamalar:
1) aх²+с = 0; 2) ax² + bx = 0; 3) aх²=0.
Bu turdagi tenglamalarning yechilishini qarab chiqamiz:

1. 
   ax²+c = 0
   

^c
_x_1,2   , agar  0 bo’lsa,
_a
ildizga ega emas,agar ^c _ 0 bo’lsa, a
x₁  0,

2. 
   ax²+bx=0 x(ax+b) = 0 ^ b
   

x₂  ;
 a

3. 
   ax²=0 x² = 0  [x=0.
   

Misо11ar. Ushbu tenglamalarni yeching:
1)x²-2 = 0; 2)x² = 9; 3)4x² + 6x = 9x²-15x; 4) 2x² + 4 = 0.
Yechilishi:

Javob: .

Javob:-3;3.

Javob:0;4,2.
tenglamaning ildizlari yo‘q,chunki
kvadrati -2 ga teng son mavjud emas.
Javob: tenglama yechimga ega emas.
To‘la kvadrat tenglamani yechish. Ushbu ax²+bx+c=0 (a_0)

tenglamani yechamiz: ax²+bx+c=0  x² _ ^b x _ ^c _ 0 a a
Bu tenglamada ikkihadning to‘la kvadratini ajratamiz:
x² _ ^b x _ ^c _ 0
a a

Hosil bo‘lgan tenglamaning о‘ng qismidagi kasrning maxraji musbat bo‘lganligi sababli uning ildizlari soni b²-4ac ifodaning ishorasi bilan bog‘liq. Bu ifoda ax²+bx+c=0 tenglamaning diskriminanti deyiladi. Uni D harfi bilan belgilanadi:
D=b²-4ac.
Diskriminantga bog‘liq bo‘lgan uchta hol bo‘lishi mumkin.
1 . Agar D > 0 bo‘lsa, u holda

Shunday qilib, D>0 bo‘lsa, kvadrat tenglama ikkita haqiqiy x₁ va x₂, ildizlarga ega va ular

formula bilan topiladi.

2. 
   Agar D=0 bo‘lsa, u holda
   

Demak, tenglama bitta ildizga ega. Bunday holda tenglama bir-biriga teng x ikki ildizga ega ham deyiladi.

2. 
   Agar D < 0 bo‘lsa, u holda
   

tenglamaning o'ng qismi manfiy bo‘ladi va u haqiqiy ildizga ega bo‘lmaydi. 1-misol. 3x²+2x-2=0 tenglamani yeching.
Yechilishi. D = b²-4ac=4+24=28 > 0;

Javob:
2-misol. 25x²-30x+9=0 tenglamani yeching.
Yechilishi. D = (-30)²-4 9 25 = 900-900 = 0;
Javob:
3-misol. 2x²–4x+3=0 tenglamani yeching.
Yechilishi. D = (-4)² – 4 2 3 = 16-24 = -8<0.
Javob: tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.
4-misol. x²-2ax+a(1 + a)=0 tenglama a ning qanday qiymatlarida bitta haqiqiy ildizga ega bo‘ladi?
Yechilishi. Berilgan kvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo‘lishi uchun uning diskriminanti 0 ga teng bo‘lishi kerak:
D = 4a² – 4a( 1 + a) = 0 => 4a² - 4a-4a²=0 => -4a=0 => a= 0. Javob: 0.
Keltirilgan kvadrat tenglama. Agar x² oldidagi koeffitsiyent 1 ga teng bo‘lsa, bu tenglama keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi. Keltirilgan kvadrat tenglama umumiy holda
x²+px+q=0
ko'rinishda yoziladi, bunda p va q - berilgan sonlar.
Keltirilgan kvadrat tenglamani ax²+bx+c=0 to‘la kvadrat tenglamada a=1, b = p, c = q bo‘lgan xususiy hol deb qarash mumkin. Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlari

formula bilan topiladi. Bu yerda diskriminant D = p²-4q.
Agar D > 0 bo‘lsa, keltirilgan kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega.
Agar D=0 bo‘lsa, keltirilgan kvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga ega.
Agar D < 0 bo‘lsa, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo‗q.
Har qanday ax²+bx+c=0 tenglamani uni a ga bo‘lish yo‘li bilan keltirilgan kvadrat tenglamaga keltirish mumkin:

ax² + bx + c = 0 <=> x² _ ^b x _ ^c _ 0
a a
Agar keltirilgan kvadrat tenglamaning p koeffitsiyenti juft son bo‘lsa, uning ildizlarini

formula bilan topish qulay.