Mavzu: Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to'plmalar, C[a,b] fazoda kompaktlik, Arsela teoremasi Reja

To‘plam kompakt bo‘lishining zaruriy shartlari
1-teorema. Kompakt to‘plam chegaralangan bo‘ladi.

1 1

1

1





2

1 2

2

𝑛
Isbot. M kompakt to‘plam bo‘lib, chegaralanmagan bo‘lsin deb faraz qilamiz. M dan ixtiyoriy 𝑥 nuqtani olib, radiusi 𝑟 =1 ga teng 𝑆(𝑥₁,𝑟 )sharni ko‘ramiz. M chegaralanmaganligi uchun u bu sharda to‘la joylashgan bo‘lmaydi. M to‘plamning 𝑆(𝑥₁,𝑟 ) sharga kirmagan biror 𝑥₂ elementini olamiz. U holda (𝑥₁,𝑥₂)≥ 𝑟 . So‘ngra radiusi 𝑟 = (𝑥₁,𝑥₂)+1 ga teng 𝑆(𝑥₂,𝑟 ) sharni qurib, M to‘plamning bu sharga kirmagan 𝑥₃ elementini olamiz. Bunday element mavjud, chunki M chegaralanmagan to‘plam va (𝑥₁,𝑥₃)≥𝑟 . Bu jaryonni cheksiz davom ettiramiz. Natijada {𝑥_𝑛} (𝑥_𝑛 ∈𝑀)ketma-ketlik va o‘sib boruvchi {𝑟 } sonli ketma-ketlik hosil bo‘lib, ular uchun ushbu

𝑛 𝑛
(𝑥₁,𝑥_𝑛)+1 = 𝑟 > 𝑟 ₋₁ (𝑛=1,2,) tengsizliklar bajariladi.

_𝑟

𝑛 𝑛 𝑚
Endi ixtiyoriy 𝑛 >𝑚 ≥2natural sonlar uchun (𝑥₁,𝑥_𝑛)+1 = 𝑟 > 𝑟 ₋₁ ≥ 𝑟 ; (𝑥₁,𝑥_𝑚)+1 = _𝑚
munosabatlar o‘rinli. Bulardan va quyidagi (𝑥₁,𝑥_𝑛)≤(𝑥₁,𝑥_𝑚)+ (𝑥_𝑚,𝑥_𝑛)
tengsizlikka asosan ushbu

𝑛 𝑚


𝑟 ≤ 𝑟 +(𝑥_𝑚,𝑥_𝑛), demak, (𝑥_𝑚,𝑥_𝑛)≥1munosabat kelib chiqadi.
Oxirgi tengsizlikdan {𝑥_𝑛} ketma-ketlikning o‘zi ham va uning biror qismi ham fundamental bo‘la olmasligi, ya’ni yaqinlashuvchi bo‘la olmasligi kelib chiqadi. Bu esa M to‘plamning kompaktligiga zid. Teorema isbot bo‘ldi.

_
Bu teoremaning teskarisi o‘rinli emas. Masalan, l₂ fazoda 𝑒₁ =(1,0,0,0,), 𝑒₂ = (0,1,0,0,), 𝑒₃
= (0,0,1,0, ),...
elementlardan iborat chegaralangan to‘plamni tuzamiz. Bu elementlarning ixtiyoriy ikkitasi orasidagi masofa (𝑒_𝑚,𝑒_𝑛)= √2 ga teng (𝑚 ≠𝑛). Shuning uchun bu ketma-ketlik va uning hech qanday qismi yaqinlashuvchi bo‘lmaydi, demak, tuzilgan to‘plam kompakt emas.