Mavzu: tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi, dispersiyasi va xosslari

3-§. Despersiya va uning xossalari.
Tasodifiy miqdorni sonli xarakteristikalaridan yana biri uning dispersiyasidan iborat.
4-ta'rif. tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb

songa aytiladi. qiymatga tasodifiy miqdorning o'rta kvadratik chetlanishi yoki standart chetlanish deyiladi.
dispersiya tasodifiy miqdorning qiymatlari uning matematik kutilmasi atrofida qanday tarqalgan ekanligini xarakterlovchi sondan iborat.
Dispersiyaning ba' zi xossalarini keltiramiz:

1. 
   .
   Haqiqatan ham,
   

2. 
   Agar tasodifiy miqdor yagona o'zgarmas sonni 1 ehtimol
   bilan qabul qilsa, ya'ni bo 'lsa, u holda . Darhaqiqat, tenglikdan
   

.

2. 
   Ixtiyoriy soni uchun tengliklar o'rinli.
   Isboti.
   

.
.
Agar va o'zaro bog'liq bo'lmagan tasodifiy miqdorlar
bo'lsa, u holda tenglik o'rinli.
Isboti. Matematik kutilmaning additivlik xossasidan foydalanib
quyidagini topamiz:
bu yerda va tasodifiy miqdorlarning bog'liq
emasligidan

tenglik kelib chiqadi.
1-xossa faqat ikkita emas, balki juft-jufti bilan bog‘liqsiz bo 'lgan
ta tasodifiy miqdorlar yig indisi uchun ham o'rinli ekanligini ko'rish
qiyin emas.
1-misol. parametrli binomial taqsimotga ega bo 'lgan
tasodifiy miqdorning dispersiyasini hisoblaymiz.
tasodifiy miqdorning dispersiyasini hisoblash uchun 1 -xos-
sadan foydalanamiz. matematik kutilma misolda topilgan edi:
Endi matematik kutilmani hisoblaymiz:





Demak, . (12) natijaga quyida keltirilgan usul bilan osongina kelish mumkin: tasodifiy miqdorni ta bog'liqsiz tajribalardan iborat bo'lgan Bernulli sxemasida kuzatilayotgan hodisaning ro ' y berishlar soni ekanligini hisobga olib, uni

ko'rinishdagi yig'indi shaklida ifodalash mumkin, bu yerda orqali -tajribada hodisa ro'y bersa 1 , aks holda 0 qiymat qabul qiluvchi tasodifiy miqdor belgilangan. Har bir qo'shiluvehining dispersiyasi

va tasodifiy miqdorlar birgalikda bog'liqsiz bo'lgani uchun 4-xossaga ko'ra ushbu

tenglikka kelamiz.
2-misol. parametrli Puasson taqsimotiga ega bo 'lgan tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
Buning uchun biz dispersiyaning 1 -xossasidan foydalanamiz. Bizga ekanligi ma'lum (3-misol). matematik kutilmani hisoblaymiz:

Shunday qilib,

ya'ni Puasson taqsimotining dispersiyasi ham, uning matematik kutilmasi kabi parametrga teng ekan.