Mehdiyev Səyyad Sərbəst iş - Xətti cəbrdə determinant matrislə çevrildikdən sonra çoxölçülü Evklid fəzasının yönümlü “uzanmasını” və ya “sıxılmasını” bildirən skalyardır: determinant yalnız kvadrat matrislər üçün mənalıdır. A matrisinin təyinedicisi kimi işarələnir det(A), |A| və ya (A)
Tarixi - Determinantlar nəzəriyyəsi xətti tənliklər sistemlərinin həlli problemi ilə əlaqədar yaranmışdır.
- Qədim Çin dərsliyi olan “Riyaziyyat doqquz kitabda” [2] müəllifləri determinant anlayışına yaxınlaşıblar.
- Avropada 2 × 2 matrislərin təyinediciləri 16-cı əsrdə Kardanoda tapılır. Daha yüksək ölçülər üçün determinantın tərifi 1693-cü ildə Leybniz tərəfindən verilmişdir. İlk nəşr Kramerə məxsusdur. Determinantlar nəzəriyyəsi Vandermond, Laplace, Cauchy və Jacobi tərəfindən yaradılmışdır. “Determinant” termini ilə ilk dəfə Gauss qarşılaşmışdır.
- Yapon riyaziyyatçısı Seki Takakazu 1683-cü ildə müstəqil olaraq determinantları təqdim etdi
- Kvadtrat matris üçün A=(aij) ölçüsü n x n onun determinantı det A düstürla hesablanır:
- burada cəm bütün dəyişdirmələrin üzərindədir a1, a2,..., an ədəd 1, 2,...,n ; N(a1, a2,...,an) inversiyaların sayını göstərir.
- Beləliklə, müəyyənediciyə n daxildir! terminlərdir ki, bunlara "müəyyənedicinin üzvləri" də deyilir.
Ekvivalent düstur: - Əmsalı haradadır bərabırdir:
- Əgər bütün indekslər 0 olmasa i1 ,i2 ,...,in fəqlidi.
- Əgər bütün indekslər 1 olsa i1 ,i2 ,...,in fərqli və əvəzedici
- -Cütdür
0, если не все индексы различны,
Matris təyinedici dəyəri - Birinci dərəcəli matris üçün determinantın qiyməti bu matrisin yeganə elementinə bərabərdir:
- 2 x 2 matrisi:
- Hesablanma
qaydası - Bu A matrisi vahid kvadratı təpələri (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) və (c, d).
- Determinantın mütləq qiyməti | ad-bc | bu paraleloqramın sahəsinə bərabərdir və beləliklə A çevrilməsində sahələrin miqyasını əks etdirən faktoru əks etdirir.
- İşarələnmiş determinant dəyəri (yönümlü paraleloqram sahəsi) miqyaslama əmsalına əlavə olaraq, A çevrilməsinin əks olunduğunu da göstərir.
Matris 3x3 - Üçüncü dərəcəli determinantın daha rahat hesablanması üçün Sarrus qaydasından və ya üçbucaq qaydasından istifadə edə bilərsiniz. a, b, c vektorlarından ibarət matrisin determinantı onların sağ Dekart koordinat sistemindəki qarışıq hasilinə bərabərdir və ikiölçülü vəziyyətə oxşar olaraq a, b, c ilə əhatə olunmuş paralelepipedin istiqamətlənmiş həcmidir.
Matris NxN - Ümumiyyətlə, daha yüksək dərəcəli (2-ci sıradan yuxarı) n x n matrisləri üçün determinant aşağıdakı rekursiv düsturla hesablana bilər:
-a1j elementinə əlavə minor. Bu düstur xəttin parçalanması adlanır. - Sübut etmək asandır ki, matrisin determinantı transpozisiya zamanı dəyişmir (başqa sözlə, birinci sütundakı oxşar parçalanma da etibarlıdır, yəni birinci sətirdəki parçalanma ilə eyni nəticəni):
Sübut 1 - İstənilən sətir (sütun) üçün oxşar genişləndirmə də etibarlıdır:
Sübut 2 - Yuxarıdakı düsturların ümumiləşdirilməsi determinantın (Laplas teoremi) Laplas genişlənməsidir ki, bu da istənilən k sətir (sütun) üçün determinantı hesablamağa imkan verir:
Determinantların əsas xassələri - Aşağıdakı xüsusiyyətlər determinantlar nəzəriyyəsinin əsas nəticələrini əks etdirir, onların tətbiqi bu nəzəriyyənin əhatə dairəsindən xeyli kənara çıxır:
- 1. 4.
- 2.
- 3.
- 5. üstəlik, A matrisi yalnız
və yalnız onun müəyyənedici det A-nı inversilə olur - 6. AX = 0 tənliyinin sıfırdan fərqli həlli yalnız det A = 0 olarsa (və ya R inteqral halqa deyilsə, det A qeyri-trivial sıfır bölən olmalıdır).
Dostları ilə paylaş: |
