Mental Arifmetika

Mashq: beshta raqamli raqamlarni kvadrati

“3-ni-3”ga ko’paytirish
"5-ga-5" ko’paytmani yakuniga yetkazishimiz uchun “3-ga-3” misollarin biz uchun oxirgi to’siq. “3-ga-2” misolida bo'lgani kabi, umumuiy jarayonni soddalashtirishga ishlatishimiz mumkin.
Faktoring metodi
Faktoring metodini boshlaymiz. Afsuski, uch xonali sonlarning ko'pchiligi bitta raqamga ajratib bo’lmaydi, ammo ular hali dekompozitsiya qilinmasa, hisoblash jarayoni juda yomon bo'lmaydi.

Amallar tartibiga e'tibor bering. Siz "3-ga-3" (829 x 288) vazifasini "3-on-1-on-1-on-1" ko’rinishida soddalashtirasiz, 288 ni esa 9 x 8 x 4 dekompozitsiyasi bilan. Keyin "4-ga-1-ga-1" (7461 x 8 x 4) va oxirida, "5-ga-1" da 238 752 ning yakuniy javobni olish uchun. Ushbu jarayonning go'zalligi bu qo'shilishda hech qanday xatti-harakatlarning yo'qligi va xotirada hech narsa saqlash kerakmasligidir. "5-ga-1" misolini olganingizda, siz vazifadan bir qadam oldingiz.

“5-ga-1” misolni ikkita amalda ishlanadi, agar 59 688 ni 59 000 + 688 kabi olsak, keyin “2-ga-1” (59 000 x4) va “3-ga-1” (688x4) natijalari, quyida ko'rsatilgandek:

Har ikkala uch xonali sonlar "2-ga-1" dek ajralib qolsa, u holda “3-ga-3” vazifasi quyidagi vazifada bo'lgani kabi "2-ga-2-ga-1-ga-1" ga soddalashtirilishi mumkin:

Odatdagidek, vazifaning og'ir qismini (2-ga-2) darhol yo'qotish yaxshidir. Buni qilganingizdan so'ng, u “4-ga-1”, keyin esa “5-ga-1” gacha kamayadi.
Deyarli har doim raqamlarning faqat bittasi kengaytiriladi. Bu holda, quyidagi misolda bo'lgani kabi, vazifani "3-to-2-to-1" ga kamaytirish mumkin bo'ladi:

Keyingi “3-ga-3” vazifasi, aslida, faqat “3-ga-2” yashiringan:

435 ni ikki barobarga va 624 ni yarimga qisqartirish bilan biz misolimizga ga teng bo’ladi:

Birgalikda qo’shish metodi
Biror onsonroqiga tayyormisiz? 0-bobda biz kiritgan quyidagi "kesish", quyidagi algebraik formulaga asoslangan:

Quyidagi kabi qayta yozamiz:

Ushbu formula z,a va larning istalgan qiymatida o’rinli. Biz bundan har safar 3 xonali sonlarni ko’paytirish kerak bo’lgan foydalanamiz (z×a va z×b). Bunda z o’rinda qulayroq sonlar tanlab olinadi (odatda 10 ga karrali yoki ko’p nolli sonlar). Masalan:

Biz bu misolni (100+7)(100+11) ko’rinishaga keltirib olamiz. Bunda z=100, a=7, b=11 deb olsak, quyidagi ko’rinishga keladi:
100(100+7+11)+7×11=100×118+77=11877
Biz bu misolni quyidagi sxematik ko’rinishga keltiram

Qavs ichidagi sonlar bizning “bazaviy sonimiz” o’rtasidagi farq (ya’ni z=100). 118 soni yoki 111+7, yoki 107+11 sonlarini qo’shish
orqali hosil qilinadi. Algebra qonunlariga asosan bu ikki summa bir-biriga ekvivalent hisoblanadi, xuddiki (z×a)b; (z×b)a kabi:
Bu safar hech qanday so’zlarsiz, mana sizga yana bir “tezlashtirgich”.

Hammasi oddiy
Keling qiymatlarni yana oshiramiz va “bazaviy sonni” kattaroq qilamiz.

Odatda bu usul 3 xonali sonlarni ko’paytirishda ishlatiladi, biz buni 2 xonali sonlar misolida ko’ramizю

Bu yerda ba’zaviy son 70, biz uni 81(78+3)ga ko’paytiramiz. Xatto bu oson bo’lsa ham. Biz bu usulni 2 ta son ba’zaviy sondan kichik bo’lganda ham foydalanamiz. Masalan, keyingi misolda 2 ta son ham 400 dan kichik.

383 son 396-13 ayirmadan hosil bo’lgan yoki 387-4. Biz bu usuldan “2 ga 2” ko’rinishda ham foydalanamiz.

Bizning keyingi misolimizda ba’zaviy son ko’paytiriladigan sonlar orasidan olinadi ya’ni:

409 son 396+13 yig’indi yoki 413-4 ayirma orqali hosil qilinadi. E’tibor qarating -4 va 13 qarama-qarshi ishorali bo’lganligi uchun 52 ayriladi.

Shunga e’tibor qaratish kerakki, yuqoridagi misolning dastlabki amali (600×658) oz’-o’zidan oqilona usul hisoblanadi. Bu usul sizni to’g’ri javobga olib boradi.

Yana, yuqoridagi barcha misollar, biz birinchi amalda ko’paytirgan son bilan bir xil qiymat qabul qilishiga e’tibor qaratish lozim. Masalan; yuqoridagi misolda, 900+829=1729, xuddiki 876+853=1729 kabi. Shuning uchun:
z+[(z+a)+b]=(z+a)+(z+b)
Shuning uchun, 900 ga ko’paytirish kerak bo’lgan sonni topish uchun (800 dan katta bolgan oraliqda), uning so’nggi ikkita raqamiga e’tibor berish kifoya: 76×59=129, 829 ni topish uchun.
Keyingi misolda, ushbu 827+761=1588 yig’indini hosil qilish uchun 800×788 ko’paytmadan 27×39 ko’paytmani ayirish lozim:

Bu usul shunchalik samaraliki, “3-ga-3”, ya’ni 3 xonali sonlar ko’paytmasi bir-biridan uzoqda joylashgan sonlar bo’lsa ham, o’z ahamiyatini yo’qotmayd. Bunda ko’paytuvchilarni bir vaqtda bir xil songa ko’paytirish hamda bo’lish orqali yechimga yaqinlashish mumkin (qolaversa berilgan sonlar bir-biriga yaqinlashadi).
Masalan, 672×157 quyidagi tartibda ishlanishi mumkin:

Ko’paytiriladigan sonlar (bir-biriga yaqin bo’lganda) “close together” usuli bilan hisoblanganda, siz oddiy kvadrat usulida hisoblaganingizdek aniqlikda hisoblanadi.

Guruhlash usuli:
Yuqorida hech bir usullar ish bermasa, biz guruhlash usulidan foydalanish imkoniyatini qidiramiz, asosan, 3 xonali sonning dastlabki 2 ta raqami muomala uchun oson bo’lganda; Masalan, quyidagi berilgan misolda: 641 dagi “64”=8×8 ga ajraladi, shuning uchun quyidagi tartibda ishlaymiz:

O’xshash tarzda, keyingi misolda 427 dagi “42”=7×6 ga ajraladi, demak, guruhlashdan foydalanib 427 ni 420+7 ko’rinishga keltirib olamiz:

Biz odatda bu kabi misollarni quyidagicha ikkita qismga ajratib guruhlaymiz:

Guruhlash usuli bilan yechiladigan masalalar o’ziga xos qiyinchilik talab etadi. Biz odatda berilgan misol oxir-oqibat oddiy hisob kitobga olib boradigan yo’ldan boramiz. Masalan, yuqorida keltirilgan misol faktor usuli bilan yechilishi mumkin. Lekin biz quyidagicha yechim tanlaymiz:

Guruhlash usuli bilan yechilishi mumkin bo’lgan eng oddiy misollar quyida ko’rsatilgan kabi o’rtasida 0 soni qatnashadi:

Bunday misollar qoida bo’yicha boshqa misollarga qaraganda osonroq bo’ib, bu misollarni ham shu tarzda yechish mumkin. Shuning uchun 3 ga 3 namunasiga qarab uni qiymatini shunday misolga o’zgartirish kerak. Masalan : 732x308ni quyidagi nol bo’lmagan misollarni qo’llash orqali erishish mumkin.
yoki
Biz aytib o’tganimizdek, berilgan misolni yechishning boshqa yo’li 308 va 366 yaqinligidan foydalanib, amalda308x366x2ni harakat qilib yechishdan tashkil topgan. Kelinglar yana bir qiyin misolni ko’ramiz:

“Ajratish” usuli
Ajratish – usuli men vaqti vaqti bilan foydalanadiga eng yaxshi usullardan biri bo’lib, bunda 3 xonali sonlarning oxiri nol bilan tugasa oddiy 2 xonali songa yaxlitlash mumkin, huddi keying misoldek:

Keying misolda ham huddi shunday:

“Qachonki qolganlari ishlamasa”usuli
Qachonki qolganlari vazifani bajarmasa siz qo’llashga hech nima topaolmayotgan bir vaqtda men keying usuldan foydalanaman. “qachonki qolgalari ishlamasa” usulidan foydalanishda “ 3ga 3”xonali sonlar uch qismga bo’lib olinadi: “ 3ga1”, “2ga 1” va 2 ga 2”. Bir yo’la hisob kitobingizda qabul qilinganlarni iloji boricha umumlashtirilib ketiladi. Ayniqsa manba raqamlarini ko’ra olmaganingizda bunday misollar qiyin hisoblanadi. Ishlash vaqtimda “3 ga 3” va “5 ga 5”da yozilgan shartlar meni qo’limda bor edi, lekin hisob kitoblarni hammasini aqlimda bajarar edim.
Mana masalan:

Amaliyotda hisob-kitoblar quyida ko’rsatilgandek sodir bo’ladi. Ba’zida men mingni ( bu yerda 447) xotirada saqlash va yuzni ( 1 ) qo’lda saqlash uchun fonetik koddan foydalanaman:
821
x527
5x851 = 4,255
8x 27 = + 216
4,471 x100=447,100
51x27= + 1,377
448,477
Kelinglar yana bir misol yechamiz, lekin bus afar men birinchi raqam qismini buzaman ( odatda ko’pincha shunday yo’l tutaman, shunda qiyin misol yanada osonlashadi).
923
x673
9x673= 6,057
6x23= + 138
6,195x100=619500
73x23= + 1,679
621,179