Microsoft Word Sessão de Pôsteres doc

 
68
0
,
0
2
≠
=
+
+
a
c
bx
ax
a
b
2
−
"Bhaskara foi o último matemático medieval importante da Índia, e sua obra 
representa a culminação de contribuições hindus anteriores". 
  
Essa fórmula surgiu por meados do século XII devido a necessidade que se tinham de resolver 
problemas de ordem comercial e financeiro. Do século XV ao XVII, muitos foram os matemáticos que 
desenvolveram formas distintas de representação e resolução da equação polinomial do 2º grau. Destaco 
aqui o método desenvolvido pelo francês François Viète (1540 a 1603), que apresenta seu método para a 
equação do 2º grau, onde fornece as soluções da equação sem que se aplique uma fórmula, ou então, se 
aplicado à equação: 
fornecerá a fórmula de Bhaskara. 
De acordo com Amaral (1988): 
"Professores, apoiando-se nos livros didáticos atuais, ou dão a fórmula de 
Bhaskara como receita, sem nenhuma demonstração quanto à sua validade, ou a 
deduzem pelo processo de "completar quadrados" O método de Viète oferece uma 
outra alternativa, a meu ver, muito instrutiva." 
 
Essa pode ser uma alternativa para se usar a História, pois em geral os professores seguem a risca 
o que os livros didáticos apresentam. 
  
O método: 
Vamos descrever o método de Viète para a resolução de  equações do 2º grau. 
Seja  
 
Fazendo-se x = u + v, onde u e v são incógnitas auxiliares, e substituindo na equação, temos: 
a(u + v)
2 
+ b(u + v) + c = 0 
a(u
2
 + 2uv + v
2
) + b(u + v) + c = 0 
E reescrevendo essa igualdade como uma equação na incógnita v, obtemos 
av
2
 + (2au + b)v + au
2
 + bu + c = 0 
Viète transformou essa equação numa equação incompleta do 2º grau, anulando o coeficiente de 
v
, 
isto é, escolhendo  
u 
=  
 
Substituindo na equação, obteve:  
 
 
e chegou, após simples manipulações, a 
 
0
,
0
2
≠
=
+
+
a
c
bx
ax
0
2
2
2
2
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
c
a
b
b
a
b
a
av
2
2
2
4
4
a
ac
b
v
−
=

---

 
69
0
4
2
≥
− ac
b
a
ac
b
v
2
4
2
−
±
=
Se  
 
 
Então 
 
 
 
Logo, 
 
que é a fórmula de Bhaskara. 
 
Esse método possibilita uma demonstração da fórmula de Bhaskara, de fácil compreensão e sem 
grandes artifícios. Oferecendo aos alunos a possibilidade de chegar-se à solução de uma equação completa 
do 2º grau, sem que haja necessidade de utilizar a fórmula de maneira decorada, além de ter um contato 
com a História. 
 
 
Aplicação 
 
Vamos resolver a equação x
2
 - 3x + 2 = 0 pelo método de Viète. 
Fazendo x = u + v e substituindo na equação dada, temos: 
(u + v)
2
 - 3(u+v) + 2 = 0, 
que é equivalente a  
v
2
 + (2u - 3)v + u
2
 - 3u +2 = 0. 
Escolhendo 
2
3
=
u
 (para anular o coeficiente de v) virá: 
 
 
Daí, v = 
2
1
±
    e    x = u + v = 
2
1
2
3 ±
 . 
 
As soluções da equação são 
2
 e 
1
. 
 
 
 
A regra da falsa posição 
A maior parte dos problemas do 
Papiro Ahmes
 refere-se a assuntos do dia-a-dia dos antigos 
egípcios: o preço do pão e da cerveja, a alimentação do gado, a quantidade de grãos de trigo armazenados. 
Alguns, no entanto, eram do tipo 
"Determinar um número tal que..."
. Ou seja, não se referiam a coisas 
concretas, mas aos próprios números. 
a
ac
b
b
a
ac
b
a
b
v
u
x
2
4
2
4
2
2
2
−
±
−
=
−
±
−
=
+
=

---

 
70
Os egípcios não usavam Álgebra, mas conseguiam resolver os problemas de um modo engenhoso: 
a regra do falso 
 
Exemplo: 
Um montão, sua metade, seus dois terços, todos juntos são 26. Digam -me: Qual é a quantidade? 
Obs: Nesses problemas, o número procurado era sempre representado pela mesma palavra: 
montão 
 
 - Inicialmente, atribuíam a montão um valor falso, por exemplo, 
18:
 
39
12
9
18
18
*
3
2
18
*
2
1
18
=
+
+
=
+
+
 
- Os valores falsos (
18
 e 
39
) eram então usados para montar uma regra de três simples com os elementos 
do problema: 
 
Valor falso 
Valor verdadeiro 
18 montão 
39 26 
 
26
39
18
montão
=
 
→ montão * 39 = 18 * 26 
montão  = 
39
468
 
montão =
 
12 
 
 
Hoje, podemos traduzir o problema para a Álgebra, através desta equação: 
                                               
26
3
2
2
=
+
+
x
x
x
 
 
E resolvê-lo não é nada difícil: 
26
*
6
3
2
2
*
6
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
x
x
x
 
6x + 3x + 4x = 156 
13x = 156 
x = 
3
156
 
x = montão = 12 
 
 
Matemáticos de várias partes do mundo adotaram a regra do falso dos egípcios.  
 

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