«Научный импульс» trigonometrik

№ 5 (100), часть 1
Декабрь, 2022

Международный научный журнал
«Научный импульс»

TRIGONOMETRIK AYNIYATLAR VA ULARNING ISBOTLARI

Tojiboyeva Nargiza Vaxobjonovna
Namangan viloyati Yangiqo`rg`on tuman 1-sonli kasb-hunar maktabi matematika fani
o`qituvchisi


Annotatsiya:Ushbu mavzu o`quvchilar uchun sodda,ravon tilda bayon qilingan,ya`ni o`quvchi xech kimni yordamisiz o`zi o`qib tushuna oladi.Bundan tashqari mavzu uchun misollar ham,ularni yechish usullari ko`rsatib qo`yilgan.Bu mavzuni yosh o`qituvchilarga dars jarayonida qo`llashini maqsadga muvofiq deb o`ylayman va tavsiya beraman.
Tayanch so`z va iboralar: trigonometriya, ayniyat,formula,asosiy trigonometric ayniyatlar,qo`shish formulasi,keltirish formulalari ,ta`rif, tekislik,nuqta, aylana, radius, misollar,ta`rif,ifoda, tenglik,argument,burchak,yarim burchak, kasr, surat, maxraj, yig`indi, ayirma.

TA’RIF:

Argumentning qabul qilishi mumkin bo’lgan barcha qiymatlarida to’g’ri bo’lgan trigonometrik tenglik trigonometrik ayniyat deyiladi.

1. 
   ASOSIY TRIGONOMETRIK AYNIYATLARNI ESLATIB O’TAMIZ
   

1. cos ²   sin ²   1;
cos

2. 
   ctg =
   

sin 

2. 
   tg =
   

sin 

cos

2. 
   tgctg  1
   

2. 
   sec 
   

1

cos

2. 
   cosec 
   

1


sin 

7. 1  tg ²  sec²  
1


cos ² 

8. 1  ctg ²  cos ec² 
1


sin ² 

Misollar. Quyidagi ayniyatlarni isbotlang.

1  2 sin  cos
^1. sin ²   cos ² 
_ tg  1
tg  1

1  2sin  cos _
(sin   cos )²
_ sin   cos

^Isbot sin ²   cos ² 


(sin   cos  )(sin   cos )
sin   cos

Kasrni surat va maxrajini cos ≠0 ga bo’lamiz, u holda

sin   cos
tg  1

sin   cos

2.
⁼ tg  1



Isbot:


  

TRIGONOMETRIK AYNIYATLAR.

1. 
   Qo’shish formulalari:
   

sin(   )  sin  cos   cos sin  sin(   )  sin  cos   cos sin  cos(   )  cos cos   sin  sin  cos(   )  cos cos   sin  sin 
_{tg (   ) } tg  tg
1  tgtg

tg (   )  ^{tg  tg} ,
1  tgtg
(    ^
2
 k )

2. 
   Tigonometrik funksiyalar yig’indisini va ayirmasini ko’paytmaga keltirish formulasi.
   

sin   sin   2 sin ^{  }  cos ^{  }
2 2
sin   sin   2 sin ^{  }  cos ^{  }
2 2
cos  cos   2 cos ^{  }  cos ^{  }
2 2
cos  cos   2 sin ^{  }  sin ^{  }

2
_{tg  tg } sin(   ) _;
cos cos 
2
_{tg  tg } sin(   )
cos cos 

ctg  ctg  ^{sin(   )}
sin  sin 
; ctg  ctg  ^{sin(    )}
sin  sin 

Trigonometrik ayniyatlarni isbotlashning quyidagi usullari mabjud.

1. 
   Aynan shakl almashtirishlar yordamida tenglikning u yoki bu qismida turgan ifodani tenglikning ikkinchi qismdagi ifodaga keltiriladi.
   
2. 
   Ayniyatning o’rta va chap qismidagi ifodalar bir xil ko’rinishga keltiriladi.
   
3. 
   Aniyatning o’ng va chap qismida turgan ifodalar orasidagi ayirma nolga teng ekanligi ko’rsatiladi.
   

2. Endi ikki argument kosinuslarining ko’paytmasini yig’indiga keltirish formulalarini keltirib chiqaramiz.Ushbu ayniyatlarni hadlab qo’shamiz :

cos(  )  cos cos  sin  sin 
cos(  )  cos cos   sin  sin 
cos(   )  cos(   )  2 cos cos 
cos cos   ¹ cos(   )  cos(   )
2
Endi yuqoridagi ayniyatlarni hadlab ayiramiz.
cos(   )  cos(   )  2sin  sin 
sin  sin   ¹ cos(   )  cos(   )
2
Ushbu ayniyatlarni ham qaraymiz. sin(  )  sin  cos   cos sin  sin(  )  sin  cos   cos sin 
Bu ayniyatlarni hadlab qo’shamiz.:
sin(  )  sin(  )  2sin  cos 
sin  sin   ¹ sin(   )  sin(   )
2

1. Qo’shish formulalari .

sin(    ^{) =sin} *sin  ^+cos *cos ^{; sin(}   ^)=sin *cos ^-cos *sin  ^{; cos(}   ^)=cos *cos ^-sin *sin  ^{; cos(}   ^)=cos *cos ^+sin *sin  ^;
tg  tg

^tg(   ⁾⁼

1  tgtg

tg  tg 

^tg(  
⁾⁼ 1  tgtg
, (   
2
+ )

2. Trigometrik funksiyalar yig’indisini va ayirmasini ko’paytmaga keltirish formulalari.

sin +sin  =2sin
  
2
*cos
  

2

^{sin -sin}  ^=2sin
  
2

*cos

  

2

^{cos +cos}  ^=2cos
  
2

*cos

  

2

^{cos -cos}  ^=-2sin
  
2

*sin

  

2

^{tg +tg}  ⁼
sin(    ) cos  * cos 
^{; tg}  tg
sin(    )
⁼ cos  * cos  ^;

^ctg  ctg
sin(    )
⁼ sin  * sin 
^{; ctg}  ctg ⁼
sin(    ) sin  * sin  ^;

^tg  ctg ⁼
cos(   ) cos  * sin  ^.

4. a, b sonlar nolga teng emas.Tekislikda M(a,b) nuqtani olamiz. OM radius vektorni uzunligi :

 R 
: u holda,
cos  
; sin  

bunda, φ burchak OM ning absissalar o’qi bilan hosil qilgan burchagi

a sin   b cos 


Demak,
^{ a} sin  



_b 
cos _ 

sin    

burchak deyiladi.
a sin   b cos  
sin    


Bunda, φ yordamchi

N a m u n a. Ifodalarni almashtiring.

1. 
   sin ^ cos;
   

Yechish.

^{ 2 2 }  ^{ }   ^ 

sin   cos 
2^sin  
2

• 
  cos ^ 
  

2
²^{sin   cos  cos sin}  ^
4 4
^{2 sin}^{ } 
4



2. 
   2 sin -3cos
   

Yechish.

2 sin   cos 

3. 
   sin-cos
   

Yechish:

13^






sin   


 
cos ^

13 sin    ;
  


  arccos

sin   cos  ^   ¹

• 
  cos
  

 2^sin   cos ^  cos sin ^{ }  2 sin ^  ^{ }
^ 


Demak,
   
   

sin   cos 
2 sin ^  ^{ } 

2 sin ^{ }   ^

4

4

4

4. 
   ^{sin x }
   

   

4

4
   
3 cos x

Yechish.

 ₁


3 ^{ } 1 3 ^ 

sin x 
3 cos x 
1  3^
sin x  
1  3
cos x ^  2^ sin x 
1  3 ²
cos x ^  2(sin x cos 
2 4



• 
  sin ^ cos x)  2sin( ^  x)
  

  

4 3
Agar =β bo’lsa, uholda

_{cos 2  } 1  cos 2 _;
2
_{sin 2  } 1  cos 2 _;
2
sin 2  2 sin  cos cos 2  cos ²   sin ² 

sin  cos  ^{sin 2} :
2
_{tg 2 } 2tg
1  tg ²

formulalar hosil bo’ladi.

5. 
   Qo`shish formulasidan foydalanib, quyidagi ayniyatlarni isbotlang.
   

sin 3  3sin   4sin ³  cos 3  4 cos ³   3cos Ko’rsatma:

sin 3  sin( 2  )
 cos²   sin ² 
va cos3  cos(2  ), deb
oling.,
sin 2  2sin  cos
va cos 2 

Formulalardan foydalaning.

6. 
   Yarim burchak trigonometrik funksiyalarlari formulalarini isbotlang.
   

cos ^  
2
; sin ^  
2
; tg ^   .
2

Ko’rsatma: cos ^{2 }  sin ^{2 }  cos va cos ^{2 }  sin ^{2 }  1ayniyatlardan foydalaning.
2 2 2 2

7. 
   Ayniyatlarni isbotlang :
   

tg ^

1. 
   sin  
   

2 _{ ;}
1  tg ²

2
1  tg ^{2 }

2. 
   cos  ² ;
   

1  tg ^{2 }
2
2tg ^
c) tg  ² ;
1  tg ^{2 }
2
Ko’rsatma:

1. 
   sin   2sin ^ cos ^ va cos  cos ^{2 }  sin ^{2 }
   

formulalardan foydalaning.

2 2

2. 
   sin   ^{sin } va cos  ^cos
   

2
ko' rinishda
2
yo' zing va 1 ni cos ^{2 }  sin ^{2 }

bilan

1
almashtiring. Bunda
1
    2k,


u holda


^  ^  k, 2 2


k  Z.
2
Demak ,
cos ^
2
2
 0 ekanidan

foydalanib, kasrning surat va maxrajini cos ^{2 } ga bo’lish mumkin.
2

3. 
   Agar A+B+C=р bo’lsa, tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC ekanini ko’rsating.
   

Ko’rsatma:

tg ( A  B) 
tgA  tgB


1  tgAtgB
shartga ko’ra, tg(A+B)=tg(р-C)=-tgC, u holda :-

tgC 
tgA  tgB


1  tgAtgB
 tgC  tgAtgBtgC  tgA  tgB  tgC  tgAtgBtgC

3. 
   Agar A+B+C=/2 bo’lsa, ctgA+ctgB+ctgC=ctgA·ctgB·ctgC ekanini ko’rsating.
   

Ko’rsatma:

ctg( A  B)  ctg(^  C)  tgC 
2
1


ctgC
_; 1
ctg
 ^{ctgA  ctgB 1}  ctgB  ctgA  ctgActgBctgC 
ctgB  ctgA

ctgC  ctgA  ctgB  ctgC  ctgActgBctgC
Misol-1. Ayniyatlarni isbotlang.
a) 2 cos ² (^  ^ )  1  sin  b) 2sin ² (^  ^ )  1  sin 

4
1  cos
d)
2
 ctg  1
4
sin 2
e)
2
 tg

sin 2

Misol-2.

1  cos 2

a) sin c sin(   )  sin ² ( ^  )  sin ^{2 }
2 2
b) cos²  sin ² 2  cos²   cos2  2sin ²  cos² 
Misol-3. Ifodani soddalashtiring.

1. 
   2(cos  cos 3 ) _; 2sin 2  sin 4
   

1 sin   cos 2  sin 3

2. 
   2sin 2  sin  1
   

Misol-4. Ayniyatni isbotlang .

a) ^{tg  tg  sin(   ) ;}
cos cos 
b) tg267⁰+tg93⁰

d) tg ^5  tg ^7
12 12