Nazariy fizika kursi

2
= 
x
2
+ y2 + z2 ekanligi hisobga olinsa,
dr 
z
(2.65)
— = — = cosw 
dz 
r
b o ‘ladi. cos0 = “ tenglikdan foydalanilsa, yana bitta formulaga ega 
b o ‘linadi:
a 0 _ _ s m 0
(2.66)
dz 
r
va nihoyat
^ = 0 .
dz
Shunday qilib (2.65) va (2.66) lam i (2.64) qo ‘yilsa, quyidagi natijaga 
kelinadi.
Э 
Э 
sin0 Э 
(2.67)
— = cos 
9
—
---------- — .
dz 
dr 
r dO
Xuddi shunday usulni ^ hosila uchun qo‘llanilsa,
3 
d dr 
d dQ 
d d
.
.
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
j
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
-
-
-
' 
' —
by 
dr dy
d d
Эу 
Эф 
dy
. „ d 
co s0 sin
(p d
cos© 
d
• 
S l i m
Si l l
+
-------
dr 
r 
dO 
r
smfl 
d(p
(
2
.
68
)
ifoda hosil b o ‘ladi. Olingan (2.67) va (2.68) form ulalam i (2.62) dagi 
birinchi formulaga olib borib qo ‘yilsa va (2.63) almashtirishlardan 
foydalanilsa, elementar algebraik hisoblashlardan so ‘ng ushbu natija 
olinadi:
77

---

(2.69)
лУ 
д 
а 
д
М х =in
sm 
(р
-----
1
- 
ctgd
cos 
(р
—
1 
дв 
д (р
Shunga 
o ‘xshash 
hisobJashlarini 
amalga 
oshirib, 
quyidagi 
formulalami ham keltirib chiqarish mumkin:
M = —iti
( cos 
(p
—
ctgd
sin 
(p
—— 
J 
( 
д в
d(p
M , = —ih
-
Эф
(2.70)
(2.71)
(2.69), (2.70) va (2.71) tengliklar sferik koordinatalar sistemasidagi 
impuls m oment operatorining 
г,в,(р
komponentalari orqali 
ifodalanishidir.
Endi impuls m omentining kvadrati uchun ifoda aniqlaniladi. Kvant 
m exanikasida impuls m omenti kvadrati operatori uning koordinata 
o ‘qlaridagi proyeksiyalari kvadrati operatorlarining y ig‘indisiga teng:
M 2 = 
M l
+ M 2 + 
M l
(2.72)
Yuqoridagi (2.69) - (2.71) form ulalam i e’tiborga olib, impuls 
momenti kvadratining operatori uchun
М г = - К
1 
d ( . D d \
l 
sm0~— |+-
(2.73)
sin в дв\^ 
дв J
sin
1
 в d(p
2
ifoda hosil qilinadi.
Olingan (2.73) ifodani Laplas operatori YVo orqali yozish mumkin. 
Sferik koordinatalar sistemasini ikki komponentasi e,
operatori
(2.74)
sm
в дв
sin0
дв
+
sin2 
в
Э
bo'lgani uchun
M
2
= - t f V
2
(2.75)
teng b o iad i.
Shunday qilib, sferik koordinatalar sistemasida zarracha harakati 
uchun impuls momenti proyeksiyalarining operatorlari va impuls 
momenti kvadrati operatori uchun ifodalari aniqlab berildi.
78

---

2.8. Impuls moment kvadrati operatorininig xususiy qiymati va
xususiy funksiyalari
Kvant 
m exanikasida 
impuls 
moment 
kvadrati 
operatori 
fundamental ahamiyatga ega ekanligidan, uning xususiy qiymatini va 
xususiy funksiyasini aniqlash m asalasi dolzarb masalalardan biri 
hisoblanishi kelib chiqadi. Avvalgi paragrafda 
M 2
operator uchun 
olingan (2.73) ifodani 
faqat 
0 va с
p
burchaklarga ta ’sir qilishini 
hisobga olinsa, u holda to ‘lqin funksiyasining ushbu burchaklam ing 
o ‘ziga bog ‘liq qisminigina qarash mumkin, y a’ni
у= ц г(в,(р )
(2.76)
M 2 operatoming xususiy qiymatlarini aniqlab beruvchi tenglama esa
= M >
(2-77)
k o ‘rinishda b o ‘ladi. (2.73) dagi JV12 ning qiymatini (2.77) qo ‘yilsa va
Я = 
(2-78)
fi
2
belgilash kiritilsa, (2.77) tenglama quyidagi k o ‘rinishni oladi:
1 
Э
sin0 
дв
'sin
в <)ц/
V — -2-
+ Ay/ = 0 
(2.79)
дв J
sin
2
в д (р
2
v 
J
M atem atik fizika tenglamalari kursidan m a’lumki, (2.79) tenglama
sferik funksiyalar tenglamasi hisoblanadi. Bu tenglamaning yechimlari
(у/(в,<р)
to iq in funksiyasi) 
0
< в < л , 
0
<
2
n
oraliqlarda chekli, bir
qiymatli va uzluksiz b o iis h i 
kerak. T o iq in funksiyasiga qo‘yilgan
yuqoridagi 
shartlarni 
bajarilishi 
uchun 
A 
quyidagi 
tenglikni
qanoatlantirishi kerak:
A = /(/ + l) 
(2.80)
bunda 
I -
butun nomanfiy son b o iib , 
I -
0,1,2,... qiymatlami qabul 
qiladi va / sonining har bir qiymati uchun (2.79) tenglama (2/-И) ta 
ildizga ega b o ia d i. Bu ildizlar sferik funksiyalam ing o ‘zginasidir: