Nazariy fizika kursi

d r )
2
m r
1
dr X X^ 
2
m r dr: 
(5Л0)
ni hisobga olgan holda, x(r) funksiya uchun quyidagi ko‘rinishdagi 
tenglamani hosil qilinadi:
h2 d2x h2I(l +1)
+ 
(5 Л 1 )
144

---

r-0 nuqtadagi toiqin funksiyasining chekli boiishi:
Z(0) = 0 
(5.12)
shartga olib keladi. (5.11) dagi radial funksiya uchun tenglama
IT
/ \
7 7/
\
Й~/(/ + 1)
U^ r) = U(r) + - — r - 
(5.13)
effektiv potensial energiyali bir oichamli harakat tenglamasiga keladi.
Klassik mexanikaga o‘xshash ^ 2mr2~^ 
markazdan qochma
energiya 
deyiladi. 
U(r) 
potensial 
energiyani 
ko'rinishini 
konkretlashtirmasdan, koordinata boshida va kuch markazidan katta 
masofalarda toiqin funksiyasini holati haqida muayyan mulohazalar 
keltirib chiqarish mumkin.
Dastavval r -> 0, ya’ni kichik masofalar sohasi tekshirib chiqiladi 
va koordinata boshi atrofida U(r) о ‘zaro ta’sir potensial energiyasini 
juda kam o‘zgarishini ta’kidlash kerak ,ya’ni:
lim r 2U (r) = 0 
(5.14)
г —
> 0 
-
'
boiadi. Bu shartning bajarilishi r -> 
о 
intilganda U(r) funksiya -1
-
Г'
funksiyaga nisbatan kamroq o‘sib borishini bildiradi. Bunday holat 
yadroning Kulon maydonida joylashgan elektron uchun bajariladi. 
Demak, (5.11) tenglamada r-»o intilganda E% va u{r)% hadlarni
// !V ’ ])j, ^adga nisbatan hisobga olinmasa ham boiadi. U holda (5.11)
2 
mr
tenglamadan
h2 d2x h2l(l + l)
<5Л5>
tenglama hosil qilinadi. Olingan tenglamaning yechimi
X
= Arr
ko‘rinishda izlanadi. Bu ifoda (5.15) tenlamaga qo‘yilsa:
y(y-l) = /(/ + l) 
(5.16)
tenglikka kelinadi va (5.16) tenglama ikkita ildizga ega boiadi,ya’ni
= l + \,y2 =-/.
Ikkinchi ildizni yoki boshqacha aytganda ikkinchi x2 = Ae‘ yechimni 
tashlab yuboriladi, chunki r —> 0 intilganda R funksiya cheksiz orta
145

---

boradi. Shunday qilib, kichik masofalarda x(r)~r'+' boiib, toiqin 
funksiyasining radial qismi esa
R(r)=Arl 
(5.17)
orqali ifodalanadi. Kuch markazidan r berilgan masofada в va
burchaklarga bogiiq boimagan holda zarrachani topish ehtimolligi 
radial funksiya modulining kvadrati bilan beriladi, ya’ni \R\'r2dr ga 
proporsional kattalik bilan. (5.17) tenglamadan ko‘rinib turibdiki, kichik 
r masofalarda zarrachani topish ehtimolligi r2,+2dr ga proportsional 
boiadi va I kattalashgau sari bu ehtimollik berilgan masofada kamayib 
boradi, boshqacha aytganda, markazdan qochma kuch zarrachani 
markazdan uloqtirib tashlashga harakat qiladi.
Endi toiqin funksiyani koordinata boshidan katta masofalarda 
asimptotik holatini tekshirib chiqaylik. Katta masofalarda zarrachaga 
ta’sir etuvchi kuch nolga yaqinlashib boradi va U(r) potensial 
energiyaning boshlanishi deb hisoblanadi, u holda
lim U (r) = 0
Г
-
»
o
o
boiishi kerak. Demak, (5.11) tenglamada r ning katta qiymatlarida E%
hadga nisbatan u% va 
hadlarni hisobga olinmasa ham
2 mr
boiadi, u holda (5.11) tenglama
(5.i8)
dx- 
h~
ko‘rinishga keladi. Olingan (5.18) tenglamaning yechimi
X = C{eikr + C2e~ikr 
(5.19)
ko‘rinishda izlanadi, bunda C, va C2- integrallash doimiylaridir.
Avvaio E energiyaning musbat qiymatlariga javob beradigan 
yechimlarni tekshirib chiqaylik. E>0 boiganida (5.18) formula orqali 
berilgan к kattalik haqiqiy qiymatga ega boiadi.
(5.19) toiqin funksiyaning radial qismi ikkita funksiya yigindisidan 
iborat boiadi:
ikr
R(r) = Ct— + C2-- . 
(5.20)
r 
r
Kuch markazidan uzoq masofalarda radial funksiya yaqinlashuvchi 
va uzoqlashuvchi sferik toiqinlaming superpozitsiyasini ifodalaydi. 
Zarrachani topish ehtimolligi katta r larda ham noldan farqli boiadi,
146

---

ya’ni r va r+dr oralig‘ida zarrachaning topish ehtimolligi |д|2 va shar 
qatlamining Aw1 dr hajmiga proporsional boiadi:
Bunday holatlar klassik mehanikada aperiodik orbitalarga mos 
keladi, bu holatlarda zarracha cheksizlikdan kuch markazi tomoniga 
harakatlanadi va keyinchalik yana cheksizlikka qarab harakatni davom 
ettiradi , ya’ni infinit harakatga kelinadi. Tekshirilayotgan holat 
statsionar holatga tegishli boiganligi uchun kelayotgan zarrachalaming 
oqimi ketayotgan zarrachalaming oqimiga teng boiishi kerak.Demak, 
kelayotgan va ketayotgan toiqinlaming Сi va C
2
amplitudalarining
modullari teng boiishi shart. Agarda с
= —
Ac"‘
va с, 
= - —
Ае'ш
deb
2 i 
* 
2 i
qabul qilinsa hamda A va a laming qiymatlari haqiqiy qiymat ekanligi 
hisobga olinsa, (5.20) ning asimtotik yechimini
turg‘un sferik toiqin shaklida yozish mumkin.
Endi E<0 manfiy energiyalar sohasini tekshirib chiqaylik. 
Zarrachalaming kinetik energiyasi har doim musbat boiganligi sababli 
zarracha faqat markazga tortilish holatidagina toiiq energiya manfiy 
qiymatlami qabul qiladi. Agarda E<0 boisa, к kattalik mavhum
qiymatlami qabul qiladi, ya’ni к = щ , va = 
boiganida (5.20)
radial funksiya
ko‘rinishda yoziladi.Endi r->°° da toiqin funksiya chekli boiish 
shartini qanoatlantirish uchun biz C2 doimiyni nolga teng deb olish 
kerak va
W 
(r) dr ~ R
2
4 jr r 2dr = 4
ж |Cxeikr + C2e~ikr f 
dr.
r 
r
(5.22)
(5.23)
natijaga kelinadi. (5.23) dan ko‘rinib turibdiki r->°° da R toiqin 
funksiya nolga intiladi va u chekli boiadi. Bunday holatlar uchun 
zarrachaning topilish ehtimolligi

---

ga teng boiadi. Demak, kuch markazidan cheksiz katta masofalarda 
zarrachani topish ehtimolligi nolga teng boiadi, boshqacha aytganda r 
da w ( r ) 0 boiadi, ya’ni zarrachani kuch markazi atrofidagina 
topish mumkin. Bunday holatlar klassik mehanikada davriy orbitalarga 
mos keladi, boshqacha aytganda zarracha kuch markazi atrofida 
harakatlanadi, ya’ni finit harakatga keltiriladi.
E<0 boiganda energetik spektr to‘g‘risida fikrlashib o‘taylik. 
Yuqorida qayd etilganidek, bunday energiyalarga finit harakat mos 
keladi va tegishli boigan toiqin funksiyalar kvadratik integrallanuvchi 
toiqin funksiyalar boiadi. Bunday toiqin funksiyalar diskret spektrga 
tegishlidir. Demak, E<0 boiganda diskret energetik spektrga ega 
boiamiz.
Endi U(r) potensial energiyaning bir nechta tipik hollarini koi'ib 
chiqaylik. Cheksizlikda potensial energiya nolga teng deb hisoblanadi. 
14-rasmda zarrachaning itarishish holi uchun U(T) potensial energiya 
tafsiflangan.