Nazariy fizika kursi

Masala. 
Shaffoflik koeffitsiyenti 
D 
ni baholang bunda 
D 0~],
va U(rE~I 
erg, m~l0~27gr (elektronning massasi tartibida), l~10~8 sm 
(atom radiusi tartibida) deb oling.
Javobi.D -e'1.
8. Masala. 
Massasi m ga teng bo Igan zarracha quyidagi
E sohada zarracha energiyasining xususiy qiymatlari spektrini 
aniqtovchi tenglama hosil qilinsin va uni
°o,x < 0 
U (x)
= ■
0,0 
< x < a  
UQ,x > a
potensial о ‘rada joylashgan. 
U(x)|
0
a
12-rasm.
x
140

---

o‘rinishga keltirilsin, bunda 
k = ^ ~ ^ - .
energiyaning qiymati uchun energetik spektming
8 
ma~
diskretligi asoslab berilsin.
Yechish. Ikkala soha uchun Shredinger tenglamasining 
ko‘rinishi quyidagicha
0
jfl = 0, bu yerda k2
dx~ 
ft
x>ct, 
=0, bu yerda jи2= ~ (и й
-Е).
dx'
■
nr
Chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi bu tenglamalarning 
yechimlari quyidagicha boiadi:
t//,(x)= /I sin fa agarda 0 
V2(x) = Be'v’: agarda x > a . 
x = a 
nuqtadagi toiqin funksiyasi va uning birinchi tartibli 
hosilasi uzluksizligidan
A 
sin 
kx = Be'111
va Ak 
cos fcc 
= -Вцё~>" 
tengliklar kelib chiqadi. Ushbu tengliklardan quyidagi olinadi:
ctgka = —~
yoki sin Ah = + - f a 7 .
к 
a y 2mU0

---

M A R K A ZIY SIM M ET RIK M AYDON DAGI HARAKAT
V bob
5.1. Shredinger tenglamasining radial qismi
Markaziy kuch maydonidagi zarrachaning harakatini o‘rganish 
potensial o'radagi zarrachaning harakati, garmonik ossilyator masalasi 
kabi kvant mexanikasining fundamental masalalarini tashkil etadi. 
Markaziy kuch maydonida harakatlanayotgan zarrachaning potensial 
energiyasi faqat masofaning funksiyasi
U = V (r ) 
(5.1)
bo‘lib, markaziy simmetrik maydon hosil qiladi. U(r) potensial 
energiyali simmetrik maydondagi harakatlanuvchi zarrachaning 
statsionar holatlari uchun Shredinger tenglamasi
& W + ^ - [ E - U ( v ) ] V = 0  
( 5 2 )
ko‘rinishga ega, bunda A = V2- Laplas operatori. Tenglamadan ko'rinib 
turibdiki, Laplas operatori va ty funksiya x, 
y, z
koordinatalariga 
bogiiq, ammo potensial energiya U(r) Dekart koordinatalari x, 
y, z
ning 
emas, balki r masofaning funksiyasidir. Potensial energiyaning (5.1)
ko‘rinishdagi markaziy simmetrik holi 
uchun г, в,
sferik koordinatalarga 
o‘tish, 
Laplas 
operatorini 
sferik 
koordinatalar orqali ifodalash (5.2) 
tenglamani yechishni osonlashtiradi. 13- 
rasmda sferik va Dekart koordinatalar 
sistemalarining bogianishi tasvirlangan. 
Ushbu rasmda
V
'f
"> 
->
X +y~ +z~
boiib, r - koordinata boshidan 
kuzatilayotgan nuqtagacha o‘tkazilgan 
radius vektoming uzunligi,
a 
z
в = arccos —= = = = =
4 x 2+ y 2 + z 2
13-rasm. Dekart va sferik 
koordinatalar orasidagi 
bogianish.
142

---

в - radius vektor r bilan z o‘qi tashkil qilgan burchagi va
v
arctg —