Nazariy fizika kursi
Yüklə 9,41 Mb. Pdf görüntüsü
|
| X = 2n + l
bo‘lganida (4.50) rekurrent formula yordamida hisoblab topiladi. /„(£) polinomlari Chebishev-Ermit polinomlari deb ataladi va #,,(£) orqali belgilanadi, ularni quyidagi soddaroq ko‘rinishda ifodalash mumkin: ) = (-') - J^(e 4 ) , (4.56) ular quyidagi differensiyal tenglamani qanoatlantiradi: d2H„ . „ dH. 2£ —-f- + 2nH =0. d f 1 b d f ” (4.57) Bu tenglamani (4.53) ni hisobga olgan holda (4.46) tenglamadan keltirib chiqarish mumkin. Chebishev-Ermit polinomlaming bir necha dastlabki polinomlarini hosil qilamiz: Я 0( / ) = 1, H,(f) = 2f, H 2(f) = 4 /2 -2, Я 3( / ) = 8 /3-12/, Я Д / ) = 16/4-48 Chiziqli ostsillyatoming xususiy funksiyalari quyidagi muhim xossaga egadir, ular -°° dan +=*= gacha boigan oraliqda ortogonaldir, ya’ni m Ф n boiganida r (4.59) 126 shart bajariladi. Agarda m=n bo‘lsa, u holda jV ‘»(x)cfo chekli qiymatga ega bo‘lib, bu natijadan normallovchi A„ ko‘paytuvchini hisoblash uchun foydalanish mumkin. Normallash sharti quyidagidan iborat: г , (4-60> f p „(x)dx = 1. — oc Bu ifodaga funksiyaning (4.55) qiymatini qo‘yib, e~*' та) tenglik hosil qilinadi. Integral ostidagi Ermit polinomlarining bittasini o‘miga (4.56) ifodani qo‘yib, oxirgi tenglik quyidagicha yoziladi, mat Bu integralni n marotada bo‘laklab integrallansa, m(o f dg natija hosil qilinadi. Ermit polinomlari uchun - - - Н Я ) = 2"п\ d£" va c2-‘- В tengliklami e’tiborga olinsa, normallovchi ko‘paytuvchi uchun quyidagi ifoda hosil qilinadi: \ma> L L (4-61) A = 4 ” ЦПл^2"п\ Shunday qilib, chiziqli garmonik ostsillyator uchun to‘Iqin funksiyaning ko‘rinishi p mco 1 „ (4.62) VMc>-; . 0„ //„(c) пк 2 n\ 127 bo‘ladi. Kichik kvant sonlar sohasida, masalan n = 0, 1, 2 qiymatlariga mos energiyaning xususiy qiymatlari va xususiy funksiyalari quyidagicha bo‘ladi: 2 2' E0=^he>, ^ 0 = 4 ,e x p ^ ~ /2j, Ex=^Ha>, ft, = Л,2^ехр^-^/2|, Е2=^П ш , ft2 = 4 ,(4 /2-2)exp|-^/2 Keltirilgan qiymatlar 9-rasmda tasvirlangan. 9-rasm. и=0,1, 2 qiymatlarda garmonik ostsilyatorning toiqin funksiyalari ko‘rinishi (a) va E„ kvant sathlarning diagrammalari (b). (4.62) formuladan nolinchi holatni batafsil tekshirib chiqaylik, uning xususiy funksiyasi УЛ,(О- 1 / x 2 4 2x0 V У ga teng boiadi va unga mos ehtimollik zichiligi esa 1 ь --- exP X. к x: V 0 7 ko‘rinishda boiadi. ф 0(х)\ ni tasvirlovchi egri chiziq Gauss xatoliklar egri chizigl tipidadir va bu ehtimollik 10-rasmda tasvirlangan. 128 10-rasm. Garmonik ostsilyatorning E 0 - eng kichik energiyali holatidagi klassik va kvant ehtimolliklari. Шkl в Olingan egri chiziqning ko'rsatishicha, ostsillyatoming nolinchi holatida zarracha vaziyatini ko‘p marta aniqla- ganimizda, uni har doim ko‘proq muvozanat vaziyati (x=0) atrofida topiladi. Bu holatning xususiyati shundan iboratki, ostsillyatoming energiyasi nolga teng boimay, balki E0= —hco teng boimay, balki E0 = teng boiishidadir. Shunga muvo- fiq ravishda, kvant ostsillyator absolut nolda tinch turmaydi. Klassik ostsillyator esa, klassik fizika va Bor nazariyasiga binoan potensial o‘ra tubida nolga teng energiya bilan harakatsiz holda boiadi. Ammo kvant nazariyasida, Geyzenberg noaniqlik prinsipiga ko‘ra, zarrachaning koordinatasi va impulsini, klassik ostsillyator holidan farqli o‘laroq, bir vaqtda aniq bilish mumkin emas. Zarrachaning nolga teng impuls bilan potensial o‘ra tubida aniq joylashishiga kvant mexanikasining noaniqlik prinsipi yo‘1 qo‘ymaydi. Hozir noaniqlik munosabatlarini qanoatlantirishi uchun -йо)-nolinchi energiyani ostsillyatoming eng minimal energiyasi ekanligi ko‘rsatiladi. Zarracha vaziyatining noaniqligi sifatida o‘rtacha kvadratik xato qabul qilinadi: Klassik ostsillyator uchun x = cos funksiya orqali kiradi. Demak , Ax = (4.63) boiadi,chunki 129 Keltirilgan (4.63) formulada a - klassik ostsillyator tebranishining amplitudasini ifodalaydi. Biroq ostsillyatoming toia energiyasi En = — ma2(02 Yüklə 9,41 Mb. Dostları ilə paylaş:
|