Nazariy fizika kursi

k
= 0
darajali qator shaklida qidiriladi:
df 
d2f  
Avvaio 
va 
lari hisoblab chiqiladi:
< 4 ' 4 8 )
(4.48) dagi qatorlami (4.46) tenglamaga qo‘yib quyidagi natija olinadi:
+ ( Я - 1 ) Х ^ * = °
(4.49)
X
k o ‘rinishdagi darajali qator aynan nolga teng bo'lishi uchun,
uning hamma an koeffitsiyentlari nolga teng boiishi kerak. (4.49) 
tenglamadagi birinchi yig‘indidagi indeks A: ni / + 2 ga, ikkinchisida 
esa / ga almashtiriladi va o‘zgamvchilaming bir xil darajalarini to‘plab 
quyidagi
Д ( / + 2)(/ + 1)а/+2- (2 / + 1 - А ) а 7] $ ' = 0
ko‘rinishdagi munosabatga kelinadi. Bu tenglik bajarilishi uchun c,' 
ning koeffitsiyentlari uchun rekurrent formulaga ega bo‘linadi:

---

21 + Х -Л
а,+2 ~ (I + 2)(1 + 1 )°' 
(4.50)
Hosil boigan formula (4.47) qatorning hamma hadlarini bittadan 
hadma-had hisoblab chiqish imkonini beradi. Qator 1 = 0 darajadan, 
yoki / = 1 darajadan boshlanishi mumkin bo‘lganligi uchun mazkur 
rekurrent formula ikki qatordan iborat bo‘ladi, ulardan bin faqat juft 
darajali qatordan
ao+аЛ 2+аЛ 4
*=« 
(4.51)
tashkil topgan bo‘ladi. Ikkinchisi esa faqat toq darajali qatordan
аЛ + a& + a£ s +■•• + ... = Х Й2
^ 52)
tashkil topgan bo‘ladi. Bu ikki qator (4.46) tenglamaning o‘zaro bir- 
biriga bog‘liq bo‘lmagan ikki xususiy yechimini tashkil etadi. 
Qatorlarining hadlari soni cheksizlikka intilsa, ya’ni 
£, ning katta
boiganida qator o‘zini exp(£2)kabi tutishini ko‘rsatiladi. Ma’lumki,
eksponentani darajali qatorga yoyish natijasida quyidagi ifoda olinadi:
2 
£ 2 
Pn 
£n+]
e1'
=1+ тг + %т + ...+
7
^-т— 
+
1
! 
2
!
v2v
-b0+b ^ +b4^+ ... + b ^ + b n+1^
+...
yetarlicha katta boiganida bu yig‘indining birinchi hadlari yuqori 
hadlariga nisbatan muhim ahamiyatga ega ekan. (n + 2) darajali had 
koeffitsiyentini «-darajali had koeffitsiyentiga nisbati
Ь * + 2
_
/ 
\
n +l 
V2 
У
n , 
I -+]
2
boiadi. Yetarlicha katta n uchun ushbu nisbat
bn 
n
ga teng boiadi. Bu esa (4.50) rekurrent formulaga binoan (4.51) qator 
hadlarining 
yetarlicha 
katta 
boigan 
holida 
mos 
hadlari 
koeffitsiyentlarining nisbati kabidir, ya’ni
124

---

a„ 
(и + 2)(и + 1) 
n
Demak, (4.51) qator haqiqatan ham £ ning 
kabi funksiyasidir.
U holda bu xususiy yechimga mos (4.45) W funksiya quyidagicha 
ifodalanadi:
¥ =
exp(-2
)
ya’ni, asimptotada \jf(4 -» °°) 
= 00
boiadi. Bu hoi toiqin funksiyaga 
qo‘yilgan cheklilik shartiga zid keladi. Demak, qatoming hadlar soni 
chekli boiishi kerak, ya’ni qator biror chekli darajali polinom boiishi 
kerak, chunki faqat shu holdagina toiqin funksiya cheklilik talabini 
qanoatlantiradi, boshqacha aytganda /(£,) 
funksiya polinomga 
keltirilsa, u holda eksponensial ko‘paytuvchining mavjud boiishi, 
boiganida toiqin funksiyani nolga aylanishini ta’minlaydi. 
Shunday qilib, (4.51) va (4.52) qatorlar polinomlarga aylangan 
hollardagina toiqin funksiyasiga qo‘yiladigan standart talablami 
qanoatlantiruvchi yechimlar olinadi. Agar
2n +1 - A = 0 
(4.53)
boisa, u holda (4.50) rekurrent formula asosida «-darajali had bilan 
tugallanuvchi polinom hosil qilinadi. (4.53) formuladan topilganA 
qiymatini (4.41) ga qo‘yib, quyidagi hosil qilinadi:
: b o
n + -
1
n = 0,1,2,...
(4.54)
Hosil boigan (4.54) formuladan ko‘rinib turibdiki, ostsillator energiyasi 
faqat diskret qiymatlami qabul qilishi mumkin, va ostsillyator uchun 
energetik sathlar bir-biridan bir xil masofada joylashadi.
Shunday qilib, ostsillyatoming toiqin tenglamasining yechimi 
boigan toiqin funksiyalari, faqat ostsillyator energiyasi qiymatlarining
(4.54) dagi formula bilan ifodalangan diskret qatoriga mos 
keladiganlarigina chegaraviy shartlami qanoatlantiradi. Olingan (4.54) 
formula Bor postulatlaridagi £'„ = Й© formulasidan farq qilishiga e’tibor 
qaratish kerak. Kvant ostsillyator energiyasining eng kichik qiymati

---

(4.54) ga binoan noldan farqli boiib, E0=^h(a teng bo‘ladi va £„
qiymatni “nolinchi energiya” deb ataladi. Bu nomning kelib chiqishi
-ftco energiyaning hatto absolut nol temperaturada ham yo‘qolmasligi
bilan bog‘liqdir. Hosil qilingan (4.54) formuladan kelib chiqadigan 
yana bir xulosa ostsillyator energiyasining kvantlanishi ham to‘lqin 
funksiyasining butun fazoda chekli bo‘lishining tabiiy sharti natijasidir. 
Mana shunday tabiiy shartlaming sodda natijasi sifatida kvantlanish 
hosil 
qilish 
imkoniyati 
Shredinger 
tenglamasining 
ajoyib 
xususiyatlaridan biridir. Chiziqli ostsillyator energiyasining har bir 
xususiy qiymatiga ((4.54) ga qarang)
(4'55)
xususiy funksiya mos keladi, bunda A„ -o‘zgarmas normallovchi 
ko‘paytuvchi, 
/„(£) 
esa 
л-darajali 
polinom 
bo‘lib, 
uning 
koeffitsiyentlari