Nazariy fizika kursi

(д1ц \
x2+ 
1
' d3U
"
W
j
X
i—
3!
Эх3 
V. 
J
x
+...
ifoda hosil bo‘ladi. Bunda x- muvozanat holatidan qancha masofaga 
oglshni bildiradi. Potensial energiya - U(x) ning x bo‘yicha birinchi 
hosilasi nolga teng boiadi, chunki ushbu hosila potensial energiya 
funksiyasi - U (*) ning minimum nuqtasida olinmoqda. Agar 
muvozanat nuqtasini sanoq boshi deb qabul qilinsa, U(0) ham nolga teng 
boiadi. Zarracha muvozanat nuqta atrofida kichik tebranma harakat 
qilayotgan boisa, yuqoridagi qatoming x~ ga proporsional birinchi 
noldan farqli hadiga nisbatan keyingi hadlari nolga cheksiz yaqin 
boiadi. Shuning uchun, garmonik tebranayotgan sistemaning potensiyal 
energiyasini quyidagi ko‘rinishda olinadi.
mco1
,
bunda
^ • 2 
ja m
tenglamasi
M'
Garmonik
U{x)'~ 
2
л 
(4.39)
=ntrf ga teng.
ostsillator to‘g‘risidagi masala uchun Shredinger
ft
2 
d 2w 
mco2x2
\
+ 
- 
—
■
xif 
= Ew 
2m dx
‘ 
2 
r
Y
(4.40)
ko‘rinishga ega boiadi, bunda V toiqin funksiya 
bolganda
ц/(х)
= о boiishi va toiqin funksiyasiga qo‘yilgan hamma qolgan 
standart shartlami ham qanoatlantirishi kerak. (4.40) tenglamani yechish 
uchun quyidagi olchamsiz kattaliklarga olish maqsadga muvofiqdir:
12!

---

Yangi kiritilgan o'zgaruvchilar uchun Shredinger tenglamasi sodda 
ko'rinishga keladi:
d 2p
.
+ 
(4.42)
Yuqorida ко‘rib chiqilgan misollardan ostsillatorning muhim 
farqli tomoni shundan iboratki, bu hoi uchun zarrachaning harakati 
biron bir devor bilan chegaralanmagan, oldingi misollarda ko‘rilgan 
chegaraviy shartlar bu yerda mavjud emas. Toiqin funksiyasiga 
qo‘yiladigan birdan-bir talab, uning kvadratik integrallanuvchi funksiya 
boiishi kerakligidir.
Toiqin funksiyaning asimptotikasini aniqlash maqsadida (4.42) 
tenglamada x ning juda katta g » i) boigan chegaraviy holi qaraladi. U 
holda (4.42) tenglamada £3ga nisbatan к ni e'tiborga olinmasa ham 
boiadi:
- t h f -  0
d$2' * ¥ ~ 
(4-43)
% » l boiganida (4.43) tenglamaning yechimi
P(±f )
^
ko‘rinishda boiadi, bu yerda /(£ ) -biror, hali noma’lum boigan 
funksiya. Yechimning eksponensial qismida boiishi mumkin boigan 
ikki ishoradan bu yerda minus ishorani saqlab qolish lozim, chunki plus
ishorali V ~ expj + --- j yechim x —> 
bolganda cheksiz ortadi, bu esa
2 )
ц/ funksiyaga qo‘yiladigan tabiiy shartlarga zid keladi. Qaralayotgan 
chegaraviy holni e’tiborga olib, (4.43) tenglamaning yechimini
у/ = exp
2
V 
J
№
(4.45)
ko‘rinishda 
izlanadi, 
/(£ ) 
funksiyani 
(4.42) 
tenglamani
qanoatlantiradigan qilib tanlab olish kerak. (4.45) yechimni (4.42)
tenglamaga qo‘yiladi, buning uchun dastavval quyidagi hosilalar 
topiladi:
122

---

d\j/
(4.42) tenglamaga у va 
o‘miga ulaming ifodalarini qo‘yib, sodda
almashtirishlardan va exp 
olinadi:
л :
2
ga qisqartishdan so‘ng ushbu munosabat
^
- 2 ^ + ( A - l ) / - 0
( 4 4 6 )
=0 nuqta (4.46) tenglamaning maxsus nuqtasi boimaganligi sababli 
bu tenglamaning yechimini
/(§) = 5 > ^ *
(4.47)