Nazariy fizika kursi

4.3. Kengligi cheklangan potensial to‘siq
T o‘siqlar to ‘g ‘risidagi m asalani tekshirishni davom ettiriladi va 8- 
rasmda tasvirlangan kengligi cheklangan bir o ‘lchamli potensial 
to'siqdan zarrachalam ing o ‘tishi k o ‘rib chiqiladi. Zarracha m aydonda 
chapdan o ‘ngga 
x
o ‘qiga parallel y o ‘nalishida harakat qiladi. 
Tekshirilayotgan maydonni uch sohaga ajratiladi.
u-
1
2
3
------------
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
>
.
0 
a 
x
8-rasm. Chekli kenglikdagi bir o‘lchamli potensial to‘siq.
Avvalgi 4.2-paragrafdagi natijalardan va belgilashlardan foyda- 
lar.iisa, uchala soha uchun to ‘lqin funksiyasini yozish mumkin:
щ (xj = e ikl + Bxe~ikx , 
x <
0, 
U= 0, 
1 
(4.24)
у 2(х) = Л2е * + В 2е-*х , 
0U=
U0, 
2 
(4.25) 
4
/ }(x) = A
3
e‘b' , 
x >a,
(7=0, 
3 
(4.26)
Tekshirilmoqchi bo‘lgan potensial to ‘siqni bilgan holda (potensial 
to ‘siqning kengligi cheklangan), bunda har doim zarrachaning 2-soha 
ichidan o ‘tib, 3- sohaga chiqishi m a’lum ehtimolga ega b o ‘lishi 
ko‘rsatiladi. Bu holda ham tushayotgan to ‘lqinning amplitudasini birga 
tenglashtirganmiz va 3-sohada qaytgan to ‘lqin b o ‘lmaganligi sababli, 
yechim sifatida faqat bitta 
jc
o ‘qining y o ‘nalishidagi to ‘lqin olingan. 
Sohalarning chegaralaridagi to ‘lqin funksiyasi va uning birinchi tartibli 
hosilasi uchun uzluksizlik shartlari yozib chiqiladi:
f t
(0) = 
(0), 
f t
'(0) =
'(0), 
(4.27)
117

---

р г(а) =
(а), 
р г '(а)
=
/>, '(а).
Olingan (4.24) - (4.26) munosabatlami ( 4.27) ga qo‘yilsa, Б и Л2, В2 
va Аз amplitudalar uchun quyidagi tenglliklar olinadi:
1+5, =A2 +B2, 
(4.28)
Kl-Bi) = q(A2-B2), 
(4.28')
A2eiqa + B2e iqa = A /\  
(4.28")
A1e
А» 
_ В е-*°
= _ a
 eika.
q
3
(4.28'")
Energiya uchun E>U0 shart bajarilganda A3 koeffitsiyentga nisbatan 
(4.28)-(4.28"') 
sistemani 
yechish 
kerak. 
(4.28) 
va 
(4.28’) 
tenglamalardan:
2 = A
2
(1 + ") + 3.
(4.29)
munosabat kelib chiqadi. (4.28") va (4.28'") tenglamalardan esa A2 va B2 
lami aniqlash mumkin:
A2 =-A,e^aeika
2
1
+ -
1
A,eiqaeik°
(4.30)
Topilgan Az va B2 doimiylaming qiymatlarini (4.29) munosabatga 
qo‘yilsa,
A __________ 4kqe~ika_________
(k + q f e iqa - { k - q f ещ<‘ 
('4’31^
natija olinadi. A3 koeffitsiyentni hisoblash davom ettirilsa
A = _____________
3 
2
kqcos(qa)-i[q
2
+k
2
)sin(qa)
ifodaga kelinadi. Demak, E>U0 boiganida, potensial to‘siqdan o‘tish 
koeffitsienti mazkur holda to‘g‘ridan-to‘g‘ri A3 ning moduli kvadratiga 
teng, chunki 1- va 3-sohalarda toiqin uzunligi bir xildir, ya’ni:
4 k
2
q
2
(4.33)
(4.32)
D :
4k
2
q
2
cos2 qa + (q
2
 - к
2
sin2 qa
natija kelib chiqadi.
118

---

Endi energiya EAgarda zarrachalar klassik mexanika qonunlariga bo‘ysunganda edi x=() 
nuqtada zarrachalaming hammasi potensial to‘siqdan qaytib ketgan 
bo‘lardi. Kvant mexanikasida esa zarrachalaming harakati mutlaqo 
boshqacha bo'ladi. E shartda q - aniq mavhum kattalik boiadi va
(4.31) formulada q = ix desak, X = j^ m { u 0-E) boiadi va bundan
4 ikxeika
4  =