Nukus innovatsion instituti

Teorema: Xosmas kvadrat matritsani elementar almashtirish yordamida birlik matritsaga keltirish mumkin.
Isbot: xosmas matritsani hamma satrlari nolmas satrlardan iborat, shu sababli harbir satrda noldan farqli kamida bitta element mavjud. matritsa quyidagicha ko’rinishda bo’lsin :

Elementar almashtirishlarni faqatgina satrlar ustida bajarib, ni birlik matritsaga keltirishimizni ko’rsatamiz .
sonlardan qaysi biri noldan farqli bo’lsa, o’sha element joylashgan satrni

satrni)
Birinchi satr bilan almashtiramiz. Shunday qilib, deya olamiz. Agar birinchi ustunda dan boshqa noldan farqli element bo’lsa,ularni birinchi satr elementlari yordamida nollarga aylantiramiz.
Natijada matritsa

ko’rinishga keladi. Endi deb faraz qilib, ning ikkinchi satrini larga ko’paytirib, natijalarni mosravishda satrlarga qo’shsak, matritsa,

Ko’rinishda bo’ladi bu jarayonni yana marta takrorlasak, matritsa

ko’rinishni oladi. Endi matritsani birinchi satrini ga ikkinchi satrni ga , …….., satrini ga ko’paytirsak

matritsa hosil bo’ladi. matritsada n- satrni larga ko’paytirib, natijalarni mos ravishda satrni larga ko’paytirib, natijalarni mos ravishda 1,2,…,n-2 satrlarga va nihoyat 2-satrni ga ko’paytirib natijani 1-satrni birinchi satrga qo’shsak, matritsa ushbu

ko’rinishda bo’ladi.Oxirgi matritsa esa (birlik) matritsadir .

Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish

n ta noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi

berilgan bo`lsin. Matritsalarni ko`paytirish amali va matritsalar tengligi ta`rifidan foydalanib, sistemani
AX = B
matritsali tenglama ko`rinishida yozish mumkin. Bu yerda, A = (a_iκ) - asosiy matritsa, B – ozod hadlar ustun matritsasi va X - noma`lumlar ustun matritsasi.
Sistemaning asosiy matritsasi A maxsusmas bo`lib, A^-1 uning tes-kari matritsasi bo`lsin. AX = B tenglama ikkala qismini chapdan tes-kari A<sup>-1</sup> matritsaga ko`paytiramiz va
A^-1A = E, EX =X
tengliklarni e`tiborga olsak,
X = A<sup>-1</sup>B (1)
tenglamani olamiz. (1) tenglama tenglamalar sistemasi yechimini matritsa shaklda yozish yoki sistemani teskari matritsa usulida yechish formulasi deyiladi. Shunday qilib, sistemani teskari matritsa usulida yechish uchun A kvadrat matritsa teskarisi A<sup>-1</sup> quriladi va u chapdan ozod hadlar matritsasi B ga ko`paytiriladi.
Masala. Quyida berilgan chiziqli tenglamalar sistemalarini teskari matritsa usulida yeching:
1) 2) 3)

1)

Sistema yechimi: ( 9; -5 ).
2) qism matritsa rangi sistema rangiga teng bo`lgani uchun sistema dastlabki ko`rinishini unga teng kuchli quyidagi shakli bilan almashtiramiz:

Yuqoridagi sistemani matritsalar usulini qo`llab yechish mumkin:

Sistema aniqmas bo`lib, umumiy yechim ko`rinishlaridan biri shaklda yozilishi mumkin. Bu yerda, x₂єR.
3) Sistema asosiy matritsasi teskarisini Jordan usulida aniqlaymiz:
 …
Sistema yagona yechimini teskari matritsa usuli formulasini qo`llab, ko’ramiz:

Sistema yechimi: ( -2; -1; 2 ).
Har bir usul kabi teskari matritsa usuli o`zining afzallik va noqulaylik jihatlarga ega. Bir nechta asosiy matritsalari aynan teng va biri-biridan faqat ozod hadlari ustuni bilan farq qiluvchi sistemalarni teskari matritsa usulida yechgan maqsadga muvofiq. Chunki, bir marta qurilgan teskari matritsa mos ozod hadlari ustuniga ko`paytiriladi va natija olinaveradi. Usulning noqulay jihati teskari matritsa qurish jarayoni bilan bog`liq bo`lib, ayniqsa, det A nolga yaqin bo`lganda ko`p xonali sonlar ustida hisob-kitoblarni talab etadi.

Foydalanilgan adabyotlar:
1. Karimov I.A. „Barkamol avlod orzusi“ O’zbekiston milliy ensiklopediyasi. Davlat ilmiy nashriyoti, Toshkent-2000 y.
2. Karimov I.A., „Barkamol avlod-O’zbekiston taraqqiyotining poydevori“ Toshkent-1998 y.
3. Nazarov R.N, Toshpo’latov V.T, Dusimbetov A.D, Algebra va sonlar nazariyasi. Toshkent 1993 yil.
4. Kuroshova T. Oliy algebra kursi. Toshkent 1976 yil.