O’rinalmashtrish

1.Tasodifiy hodisa.Hodisalarustidaamallar.Tasodifiyhodisa — maʼlumshartlarbajarilgandaroʻyberishi ham, bermasligi hammumkinboʻlganyokiberishianiqehtimollikkaegaboʻlganhodisa.AgarkoʻptajribalaroʻtkazilgandaTasodifiyhodisaningroʻyberishchastotasibiror r sonigayaqinlashsa, mana shu son Tasodifiyhodisaningehtimolidaniboratboʻladi. Vahodisalaryig’indisi deb hodisaning kamida bittasi (ya’ni yokiyoki A va birgalikda) ro’y berishdan iborat hodisaga aytildi. A va hodisalar ko’paytmasi deb,A hodisa ro’y bermasligidan iborat hodisagaaytiladi. A hodisaningayirmasi deb, A hodisaro’yberib, hodisaro’ybermasligidaniborat hodisagaaytiladi.Ahodisagaqaramaqarshi faqatvafaqat Ahodisaro’ybermagandaro’yberadi (ya’ni hodisa A hodisa ro’y bermaganda ro’y beradi) ni A uchun teskari hodisa deb ham ataladi. Agar A hodisa ro’y berishdan hodisaning ham ro’yberishikelibchiqsa A hodisahodisaniergashtradideyiladiva A ko’rinishda yoziladi. Agar A va B bo’lsa, u holda A vahodisalarteng (tengkuchli) hodisalardeyiladiva A=B korinishdayoziladi.



2.Kombinatorika elementlari.Birqatoramaliymasalalarniyechishuchunberilganto’plamdanuningqandaydirxossagaegabo’lganelementlarinitanlabolishvaularnima’lumbirtartibdajoylashtirishgato’g’rikeladi.Ta’rif. Birorcheklito’plamelementlariichidama’lumbirxossagaegabo’lganelementlaridaniboratqismto’plamlarnitanlabolishyokito’plamelementlarinima’lumbirtartibdajoylashtirishbilanbog’liqmasalalarkombinatorikmasalalardeyiladi. Ta’rif. Kombinatorikmasalalarbilanshug’ullanadiganmatematik fan kombinatorikadeyiladiGuruhlash
=
O’rinalmashtrish:

O’rinlashtrishlar:



3.Hodisa ehtimolitushunchasivauningklassik,geometricvastatistikta’riflari.Ehtimolning classic tarifi: n ta tengimkonyatlielementarxodisalardantashkiltopganbo’lasin. A hodisaningqulaylikyaratuvchielementarxodisalarsoni m ningtajribadagibarchaelementarhodisalarisoni n ganisbatigaaytiladi. P(A)=m/n Ehtimolning geometric tarifi:Ehtimollikning classic tarifigako’ra elementar hodisalar fazosicheklibo’lgandaginahisoblashimizmumkin. Agar cheksiz teng imkonyatli elementar hodisalardAN tashkil topgan bo’lsa geometric ehtimollikdanfoydalanamiz. O’lchovlibiror G sohaberilganbo’lib u biror D sohaniichigaolganbo’lsin G sohagatavakkaligatashlangan x nuqtani D sohagatushishehtimolinihisoblashmasalasiniko’ramiz.Buyerda x nuqtaning G nuqtagatushishimuqarrahodisa D sohagatushushitasodifiyhodisa. Ta’rif: A hodisaning geometric ehtimolligi deb D sohao’lchovini G sohao’lchoviganisbatiogaaytiladi. Ya’ni P(A)= mes(D)/mes(G) (mes-o’chov)Ehtimolning statistic tarifi: A hodisa n ta bog’liqsiztajribalardann_Amartaro’ybersinn_A son A hodisaningchastatasin_A/n munosabatesa A chastataningnisbiychastatasideyioladi. Nsibiychastataningstatistic turg’unlikxossasi deb ataluvchixossasimavjud, ya’nitajribalarsonioshishi bn nisbiychastatasima’lumqonuniyatgaegabo’ladivabiror son atrofidatebranibtu






4. Ehtimollikningxossalari.
1. Mumkinbo’lmaganhodisaningehtimolinolgateng.

2. Qaramaqarshihodisalarningehtimolliklariniyig’indisibirgateng. =1
3. Ixtiyoriyhodisaningehtimolligiuchunquyidagimunosabato’rinli:

4.Agar A bo’lsa, u holda P(A) P(B)
5. Agar birgalikdabo’lmagan hodisalarto’lagurippanitashkiletsa, ya’ni = A_i * A_j = , i j bo’lsa u holda



5.Shartliehtimollik.
Shartliehtimollik Bu ma'lumbirhodisaningpaydobo'lishiehtimoli, chunkiboshqasishartsifatidasodirbo'ladi. Ushbuqo'shimchama'lumotlarbironbirnarsayuzberishihaqidagitasavvurnio'zgartirishimumkin (yokio'zgartirmasligimumkin). P (A│B) deb belgilangan B sodirbo'lganligisababli A paydobo'lishiningshartliehtimoliquyidagichaaniqlanadi: P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A va B) / P (B)
Ko’pginahollardaqandaydirtasodifiyhodisaehtimolligimusbatehtimolgaegabo’lganboshqabir B tasodifiyhodisasiro’yberganlikshartidatopishigato’g’rikeladi. Bundayehtimollikkadeyiladi P(A/B) kabibelgilanip, A ningB shartdagiehtimolligi deb o’qiladi.


6.Hodisalarning bog’liqsizligi.Hodisalarningbog’liqsizligiehtimollarnazaryasiningasosiytushunchalaridanbirihisoblanadi, chunki u ehtimollarnazaryasinio’lchovlifazalariningumumiynazaryasidanajratibtiuradigano’zigaxosxususiyatianiqlabberadi. Agar P(A/B)=P(A) tenglikbajarilsa A hodisa B hodisagabog’liqemasdeyishtabiy.Agar P(A)>0 bo’lsa u holda P(B/A) shartliehtimolmavjudvako’paytrishteoremasigako’ra P(B/A)= DEmak A hodisaning B gabog’liqsizligidan B hodisaning A gabog’liqsizligikelipchiqadi. YAni A va B hodisalarningbog’liqsizligisimmetriklikxususiyatigaega. Agar A va B hodisalarbog’liqsizbo’lsa u holda P(AB)=P(A)P(B) tengliko’rinlivabutenglik A va B hodisalarningehtimollari 0 bo’lh=ganida ham manogaega.Ta’rif: Agar P(AB)=P(A)P(B) tengliko’rinlibo’lsa A va B HOdisalarbog’liqsizdeyiladi. Tarif; A₁, ….A_nhodisalarberilganbo’lsin. Agar ixtiyoriy 1 sonlaruchunP(A_i1, ……..A_in)=P(A_i1)* ……* P(A_in) tengliklARo’rinlibo’lsa u holda A₁, …. A_nbirgalikdabog’liqsizhodisalardeyiladi.



7.To’laehtimolva Bayes formulalarivaularuchunta’rifvateorema.
Teorema: To’laguruppatashkiletuvchibirgalikdabo’lmagan B₁,…. B_nhodisalardanbittasiningro’yberganlikshartidaginiro’yberishehtimoli har biriningehtimoligako’paytmalariyig’indisigateng. P(A)= P(B₁)* P_B1(A)+P(B₂)*P_B2(A)+….+P(B_n)*P_Bn(A)
Bayes formulasi: A hodisato’laguruppatashkiletuvchi B₁,….B_nhodisalaridanbiriro’yberishshartidaginaro’yberishimumkinbo’lsin. P(B_n/A)=



8. Bernullisxemasi va formulasi.
n ta o‘zarobog‘liqbo‘lmagansinashlarketma-ketligida har birsinashda A hodisaningehtimolligi p, ro‘ybermaslikehtimolligiesa q=1-p bo‘lsin(p va q sinashlarnomerigabog‘liqemas). Bu bernullisxemasideyiladi. Bernulliformulasi: P_n(m)= C_n^m * p^m * q^n-m




11 . Tasodifiy miqdor va uning taqsimot funksiyasi. Tasodifiy miqdor taqsimot qonunining berilishi shu tasodifiy miqdor haqida toliq malumot beradi. Ammo bazi hollarda tasodifiy miqdor togrisida ayrim, yigma malumotlarni bilish lozim boladi. Bunda tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari — tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi tushunchalari muhim rol oynaydi.Tasodifiy miqdor.Ehtimollar nazariyasining muhim tusunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir. Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma‘lum bo‗lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.

12

13

9.Binomial taqsimot va uning xossalari.
Binomial taqsimot — ehtimollarnazariyasivauningtatbiqlaridauchraydiganmuhimtaqsimotlardanbiri. N ta erklisinasho’tkazilayotganbo’lipularning har biridda A hodisaningro’yberishiyokiro’ybermasligimumkinbolsin. Xarbirsinashdahodisaningro’yberishehtimoli P ro’ybermaslikehtimoli q=1-p Ehtimollaning binomial taqsimoti deb Bernulliformulasi bn aniqlanadiganehtimollartaqsimotigaaytiladiqonunningBinamial (1 )ningo’ngtamoniNyutonBinomyoyimasiningumumiykodisifatidaqarashmumkin. (p+q)ⁿ=C_nⁿPⁿ+C_n^n-1P^n-1q+……+C^k_nP^kq^n-k+….+ C_n⁰qⁿquyidagiko’rinishdabo’ladi:

x	n	n-1	…	K		..		0
P	Cn^nP^n	Cn^n-1P^n-1q	…	C^knP^kq^n-k	..		Cn^0q^n

10. MuavrLaplasninglokalva integral limit teoremalari.Teorema;(Laplasninglokolteoremasi);Agar har birsinashda A hodisaningro’yberishehtimoli P o’zgarmasbo’lip 0 va 1 dan farqlibo’lsa u holda n ta sinashda A hodisaningrosa k martaro’yberishehtimoliP_n(k) bo’laditaqribanP_n(k)= - * * = * Funksiyaning x= gateng. Funksiyaning * Xningmusbatqiymatlarigamosqiymatlaridantuzilganjadvallarmavjud. Laplasning integral teoremasi;A, P, n, P_n(k)
Y= P_n(k)= * *
n ta tajribao’tkazilayotganbo’libularning har birida A hodisaningro’yberishehtimolio’zgarmas P gatengbo’lsin.
Teorema: Agar har birsinashda A hodisaningro’yberishehtimolio’zgarmas P gatengbo’lip 0 va 1 dan farqlibo’lsa u holda n ta sinashda A hodisaning k₁dan k₂gacha ro’yberishehtimolitaqribananiqintegralgateng. P_n(k₁, k₂) dzbuyerda x^’= , x^’’= :




14

15.



17.




16.



19.

20.



18.