O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

2-teorema. Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasining yechimi chegaraviy funksiyaga uzluksiz bog‘liq bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, funksiya chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi, funksiya esa shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo‘lsin. U holda ayirma qaralayotgan masalaning

chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo‘ladi.
Agar ixtiyoriy >0 son va uchun bo‘lsa, u holda

tengsizlik o'rinli bo‘ladi.
Bu Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi yechimining turg‘un ekanligini bildiradi. Endi Laplas tenglamasi uchunn Neyman masalasi yechimining yagonaligini isbot qilamiz.
Agar va silliq sirt bo’lsa u holda funksiya da to’g’ri normal hosilaga ega bo’ladi.
Chekli sohada ichki Neyman masalasini qaraylik ya’ni (13)
3-teorema.Agar Laplas tenglamasi uchun ichki Neyman masalasi sohada ikkita yechimga ega bo’lsa u holda bu yechimlar bir-biridan o’zgarmasga farq qiladi.
Isbot.Faraz qilaylik (13) masala sohada va yechimlarga ega bo’lsin.Ularning ayirmasi uchun
, (14)
munosabatlar o’rinli ekanini ko’rsatish qiyin emas. funksiyaga sohada Grin formulasini qo’llaymiz.Natijada
(15)
tenglikka ega bo’lamiz.
funksiyaga sohada uzluksiz ekanligidan u yopiq da chegaralangan bo’ladi va (14) ga ko’ra nolga tekis yaqinlashadi.(14) chegaraviy shartdan va (15) tenglikdan

ifodani olamiz. Oxirgi tenglikdan va bundan esa yoki kelib chiqadi.
Endi tashqi Neyman masalasini bo‘lgan holda qaraylik.
4-teorema . Agar Laplas tenglamasi uchun tashqi Neyman masalasining yechimi sohada mavjud bo'lsa, u holda bu yechim yagona bo'ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, cheksiz sohada Neyman masalasi va yechimlarga ega bo‘Isin. Ularning ayirmasi
(16)
munosabatlarni qanoatlantiradi.
Cheksiz sohada yotuvchi va sirtga parallel bo’lgan sirtni quramiz.Endi markazi koordinata boshida bo’lgan sirtni o’z ichiga olgan radiusli sfera o’tkazamiz. soha va sirtlar bilan chegaralangan va esa va sirtlar bilan chegaralangan. soha chekli va unda bo’lgani uchun Grin formulasini qo’llash mumkin.Unga ko’ra

Bo’ladi. Oxirgi ayniyatda limitga o’tamiz va (16) munosabatlarga asosan
(17)
tenglikka ega bo’lamiz.(16) shartlarga va funksiyaning sohada garmonik ekanligidan va yetarlicha katta uchun quyidagi


tengsizlik o’rinli bo’ladi.Bu tengsizliklarga asosan (17) formulaning o’ng tomoni uchun

bahoni olamiz. Bunda bo’lgani uchun da limitga o’tamiz. Natijada

tenglikka ega bo’lamiz.
Oxirgi tenglikdan yoki kelib chiqadi. Masalaning shartiga ko’ra funksiya cheksizlikda nolga intiladi. Shuning uchun bo’ladi. Bundan esa ekanligi kelib chiqadi.